Ecuații de gradul al doileaIntroducere

Bine ați venit la SkateSum, o companie mică care produce skateboard-uri. Inginerii au lucrat la un nou model, SquareBoard, care este pregătit pentru a intra în producție. Vi s-a cerut să găsiți prețul optim de vânzare pentru skateboard-uri - și se dovedește că realizarea lor nu este ieftină:

• Sculele și utilajele necesare pentru construirea skateboard-urilor costă 5.000 USD. Acest lucru este adesea numit cost fix.
• În costul fiecărui skateboard intră un cost suplimentar de 30 dolari pentru a acoperi cheltuielile cu materialele din care este produs: lemn și alte materiale, precum și salariile angajaților. Acest cost suplimentar este adesea numit cost variabil.

Cu alte cuvinte, costul producerii a n skateboard-uri este

cost = .

Noile skateboard-uri sunt foarte așteptate, dar dacă prețul este prea mare, puține persoane vor chiar cumpăra unul. Putem afișa acest lucru într-un grafic în care pe axa Ox avem prețul unui skateboard și pe axa Oy avem numărul corespunzător de persoane care doresc să cumpere un skateboard (cererea).

Care dintre aceste diagrame reprezintă cât mai real relația dintre preț și cerere?

Un preț mai mare înseamnă că numărul de persoane care doresc să cumpere un skateboard este mai mic, deci graficul funcției trebuie să se deplaseze în jos. După ce au făcut câteva cercetări de piață, economiștii au venit cu următoarea ecuație:

cerere = 2800 - 15 × preț

De exemplu, dacă un skateboard costă 80 USD, cererea va fi de bucăți.

Câștigul companiei noastre este dat venitul total pe care îl realizăm. Adică, este numărul de skateboard-uri vândute (cerere) înmulțit cu prețul unui skateboard:

venitul = cerere × preț

Ceea ce ne interesează cel mai mult este profitul nostru: veniturile pe care le realizăm din vânzarea de skateboard-uri din care scădem costul producerii acestora. Puteți găsi o ecuație care exprimă profitul nostru în funcție doar de prețul fiecărui skateboard?

Observați că această ecuație conține prețul, precum și pretul2. Ea se numește ecuație de gradul al doilea sau ecuație pătratică, numită după cuvântul latin „quadratus” pentru pătrat.

Pentru a afla modul în care ne putem maximiza profitul, să calculăm profitul pentru câteva prețuri diferite:

Acum putem trasa toate aceste puncte într-un sistem de coordonate și le putem conecta cu o linie:

Vă amintiți că graficul unei funcții liniare este întotdeauna o dreaptă. Dar așa cum ați văzut mai sus, graficul unei funcții de gradul al doilea este curbat. Acesta are chiar și un nume specific: Parabolă.

Dacă prețul este 0, profitul nostru este negativ, deoarece oferim gratuit skateboard-uri scumpe. Pe măsură ce prețul crește, crește și profitul nostru. Cu toate acestea, dacă skateboard-urile devin prea scumpe, oamenii nu mai vor să le cumpere și profitul nostru scade din nou.

Ne putem maximiza profitul prin stabilirea prețului unui skateboard la aproximativ $.

În lumea reală, poate fi foarte dificil pentru companii să determine o ecuație pentru profitul lor - și este probabil să fie mult mai complicat decât acest exemplu.

Totuși, ecuațiile de gradul al doilea apar peste tot în natură, inginerie și economie. În acest curs veți învăța diferite metode de rezolvare a ecuațiilor de gradul al doilea și veți învăța să înțelegeți graficul funcțiilor asociate acestora.