Divizibilitate și Numere PrimeDistribuția Numerelor Prime

Cea mai simpla metodă de a verifica dacă un număr este prim este să încerci sa-l împarți la toate numerele întregi mai mici decât el. Calculatoarele pot face asta foarte rapid și eficient. Pentru numere foarte mari, cu sute de cifre, există algoritmi mai eficienți. Unii dintre aceștia folosesc chiar și probabilități pentru a determina dacă un număr este aproape sigur prim.

Iată un calculator care îți permite să verifici daca un număr oarecare e prim:

Calculul acestor numere prime mari ar putea părea a fi doar o pierdere de timp, dar mai târziu vei învăța în acest curs despre variatele aplicatii din viața reală în care calculatoarele au nevoie să folosească numere prime mari.

Aici poți genera propriile tale numere prime cu un număr dat de cifre:

Spirala Ulam

Matematicianul polonez Stanisław Ulam a descoperit o metodă grozavă de a arăta ddistribuția numerelor prime mari în timp ce mâzgălea pe când se afla la o ședință “lungă și foarte plictisitoare” din anul 1963.

Notăm toate numerele întregi într-o grilă dreptunghiulară, începând cu 1 în mijloc și apoi mergând în spirală spre exterior. Apoi subliniem toate numerele prime.

Momentan, spirala Ulam nu pare deosebit de interesantă. Dar, dacă o mărim, apar modele interesante. Iată numerele prime până la 160.000:

Conjectura lui Goldbach

În anul 1742, matematicianul german Christian Goldbach a făcut o descoperire interesantă: el a observat că toate numerele întregi pare (cu excepția lui 2) pot fi scrise ca sumă a două numere prime. De exemplu, 8 = 5 + 3 and 24 = 13 + 11. Acest lucru este destul de surprinzător, deoarece numerele prime sunt determinate folosind înmulțirea și divizorii - și nu ar trebui să aibă prea mult de-a face cu adunarea.

Goldbach a scris despre constatarea sa într-o scrisoare adresată faimosului matematician Leonhard Euler, dar niciunul din cei doi nu a putut să o demonstreze. A devenit cunoscută drept Conjectura lui Goldbach.

Calculatoarele au verificat că această Conjectură a lui Goldbach funcționează pentru orice număr par până la 4 × 10¹⁸ (un 4 urmat de 18 zerouri), dar matematicienii nu au demonstrat încă faptul că ea functionează pentru toate numerele întregi pare. Si asta constituie o diferență mare pentru că există o infinitate de numere întregi, așa că nu am avea cum să le verificăm pe toate.

Simplitatea aparentă a acestei conjecturi a făcut ca ea să fie una din cele mai faimoase probleme nerezolvate din matematică.

Numere Prime Gemene

Am văzut deja că numerele prime se distanțeaza tot mai mult pe măsură ce devin mai mari. Dar ele par să apară mereu complet aleator și ocazional găsim două numere prime alăturate, la doar un număr distanță: acestea se numesc Numere Prime Gemene.

35,1113,4143,101103,20272029,108,377108,379,1,523,6511,523,653

Cea mai mare pereche cunoscută de numere prime are 58.711 cifre! Dar există oare o infinitate de numere prime gemene, așa cum există o infinitate de numere prime? Nu se știe – Conjectura Numerelor Prime Gemene este o altă problemă nerezolvată cu privire la numerele prime.

Ipoteza Riemann

Matematicienii au explorat timp de multe secole modelul și distribuția numerelor prime. Acestea par să apară complet aleator - uneori există spații mari între numerele prime consecutive, iar alteori găsim numere prime gemene unul lângă altul.

Pe când avea doar 15 ani, matematicianul german Carl Friedrich Gauss a avut o idee inovatoare: el a numărat numerele prime până la un anume punct și a pus rezultatele într-un grafic:

De-a lungul axei X se pot vedea toate numerele întregi. La fiecare număr prim Funcția de Numărare a Numerelor Prime (marcată cu albastru) crește cu 1. Pe măsură ce micșorăm, linia albastră devine foarte uniformă. Gauss a observat că graficul acestei funcții este foarte similar cu cel al funcției xlogx (marcat cu roșu). El a prezis că cele două funcții sunt mereu “aproximativ similare”, iar aceasta s-a demonstrat în anul 1896.

Cu toate acestea, după cum am văzut mai sus, încă există o abatere semnificativă între numărul actual de numere prime și aproximarea lui Gauss. În 1859, matematicianul Bernhard Riemann a descoperit o aproximare mult mai bună, dar nu a putut dovedit că aceasta se aplică mereu. Ideea sa a devenit cunoscută sub numele de Ipoteza Riemann.

Sute de matematicieni au incercat să demonstreze ipoteza lui Riemann, dar toate încercările au fost fără succes. Este adesea considerată una din cele mai dificile și importante probleme nerezolvate din matematică. În anul 2000, Institutul de Matematică Clay a numit-o una din cele șapte Probleme de Premiul Mileniului și a promit să acorde $1.000.000 oricărui matematician care o rezolvă.