Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Divizibilitate și Numere PrimeCriterii de Divizibilitate

Timp de citit: ~25 min

Există câteva criterii diferite care pot ușura surprinzător de mult verificarea dacă un număr este divizibil cu altul. În acest capitol vom arunca o privire asupra câtorva dintre acestea...

Criteriul de divizibilitate cu 2 și 5

Orice număr este divizibil cu 1. Pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 2 trebuie doar să verificăm dacă este un număr par: orice număr care se termină în 0, 2, 4, 6, sau 8 este divizibil cu 2.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu 5 trebuie să verificăm, în mod similar, că ultima sa cifră este 0 sau 5:

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Aceste criterii de divizibilitate cu 2 și 5 sunt atât de simple mulțumită sistemului nostru de numerație. Baza sistemului nostru de numerație este 10, ceea ce înseamnă că fiecare poziție a unui număr indică o valoare de 10 ori mai mare decât urmatoarea poziție din dreapta. De exemplu, daca luăm numărul 6382,

6382
=6000=300=80=2

Acum putem separa ultima cifră a unui număr de toate celelalte cifre ale sale:

abcd=abc × 10+d
6382=638 × 10+2

2 și 5 sunt divizori ai lui 10, așadar ei vor abc × 10, indiferent ce valoare au a, b și c. De aceea, avem nevoie să verificăm doar ultima cifră: dacă d este divizibil cu 2 atunci este, de asemenea, divizibil cu 2. Dacă d este divizibil cu 5 atunci numărul întreg este divizibil cu 5.

Cel mai simplu criteriu este criteriul de divizibilitate cu 10: avem nevoie să verificăm doar dacă .

Criteriul de divizibilitate cu 4 și 8

Din păcate, 4 nu divide pe 10, așa că nu putem să ne uităm doar la ultima cifră – dar 4 divide pe 100, așa că trebuie doar să modificăm ușor regula de deasupra. Acum scriem abcd = ab × 100 + cd. Știm că 4 va divide mereu pe ab × 100, așa că trebuie să ne uităm la ultimele cifre pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 4.

De exemplu, 24 este divizibil cu 4, deci 273524 divizibil cu 4, pe când 18 nu este divizibil cu 4, deci 194718 divizibil cu 4.

Criteriul de divizibilitate cu 8 devine și mai dificil, pentru că 100 nu este divizibil cu 8. În schimb, trebuie să urcăm până la și să ne uităm la ultimele cifre ale unui număr.

De exemplu, 120 este divizibil cu 8, deci 271120 este, de asemenea, divizibil cu 8.

Criteriul de divizibilitate cu 3 și 9

Criteriul de divizibilitate cu 3 este destul de dificil. 3 nu divide pe 10 și nici pe 100, 1000 sau oricare altă putere a lui 10. Nu ne va ajuta să ne uităm doar la ultimele câteva cifre ale unui număr.

În schimb, trebuie să folosim suma cifrelor unui număr, care este pur și simplu suma tuturor cifrelor sale individuale. De exemplu, suma cifrelor lui ${13×n+123} este ${digitSumString(123+13×n)} = ${digitSum(123+13×n)} și suma cifrelor lui 3524 este .

1
2
3
3
4
5
6
6
7
8
9
9
10
11
12
3
13
14
15
6
16
17
18
9
19
20
21
3
22
23
24
6
25
26
27
9
28
29
30
3
31
32
33
6
34
35
36
9
37
38
39
12
40

Aici am subliniat toate numerele care sunt multiplu de trei. Se poate observa că suma cifrelor lor este mereu .

Așadar, pentru a determina dacă un număr oarecare este divizibil cu 3, avem nevoie să calculăm suma cifrelor sale și să verificăm dacă rezultatul este divizibil cu 3.

Hai să ne uităm în continuare la multiplii lui 9:

9
9
18
9
27
9
36
9
45
9
54
9
63
9
72
9
81
9
90
9
99
18
108
9
117
9
126
9
135
9
144
9
153
9
162
9
171
9
180
9

Așadar, pentru toate numerele divizibile cu 9, suma cifrelor divizibilă cu 9. De exemplu, suma cifrelor lui 4752 este , deci 4752 divizibilă cu 9.

Bineînțeles că aceste reguli interesante pentru numerele divizibile cu 3 sau 9 trebuie să aibă o explicație - și la fel ca mai înainte are de-a face cu sistemul nostru de numerație în baza 10. După cum am văzut, scrierea numărului 6384

înseamnă de fapt

6 × 1000 + 3 × 100 + 8 × 10 + 4.

Putem sparge fiecare din aceste produse în două părți:

6 × 999 + 6 + 3 × 99 + 3 + 8 × 9 + 8 + 4.

Bineînțeles că 9, 99, 999 și așa mai departe sunt mereu divizibile cu 3 (sau cu 9). Ne mai rămâne doar sa verificăm că ce a mai rămas este de asemenea divizibil cu 3 (sau cu 9):

6 + 3 + 8 + 4

Aceasta este totodată și suma cifrelor! Deci, dacă suma cifrelor este multiplu de 3 și știm că restul e multiplu de 3, atunci rezultatul va fi și el un multiplu de 3.

Criteriul de divizibilitate cu 6

Până acum am omis numărul 6, dar deja am trecut greul. Să ne amintim că 6 = 2 × 3.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

Pentru a verifica dacă un număr este divizibil cu 6, trebuie doar să verificăm dacă este divizibil cu 2 3. De reținut că această regulă funcționează pentru 6, dar cu siguranță nu pentru orice număr care este produsul a două numere. Mai multe despre toate acestea mai târziu…