fractaliiTriunghiul Sierpinski

Iată câteva exemple de plăci de podele din diferite biserici din Roma:

După cum se dovedește, triunghiul Sierpinski apare într-o gamă largă de alte domenii ale matematicii și există multe moduri diferite de a-l genera. În acest capitol, vom explora unele dintre ele! Continua

Triunghiul lui Pascal

S-ar putea să vă amintiți deja triunghiul Sierpinski din capitolul nostru despre triunghiul lui Pascal . Aceasta este o piramidă de număr în care fiecare număr este suma celor două numere de mai sus. Atingeți toate numerele uniforme din triunghiul de mai jos, pentru a le evidenția - și vedeți dacă observați un model:

Triunghiul lui Pascal poate fi continuat în jos pentru totdeauna, iar modelul Sierpinski va continua cu triunghiuri mai mari și mai mari. Puteți vedea deja începutul unui triunghi și mai mare, începând din rândul 16.

Dacă două celule adiacente sunt divizibile cu 2, atunci suma lor din celula de dedesubt trebuie să fie divizibilă și de 2 - de aceea putem obține triunghiuri colorate (sau celule unice). Desigur, putem încerca și colorarea tuturor celulelor divizibile cu alte numere decât 2 . Ce crezi că se va întâmpla în acele cazuri? Continua

Aici puteți vedea o versiune minusculă a primelor 128 de rânduri ale triunghiului lui Pascal. Am evidențiat toate celulele care sunt divizibile cu ${n} - ce observi?

Pentru fiecare număr, obținem un model triunghiular diferit similar triunghiului Sierpinski. Modelul este deosebit de regulat dacă alegem un număr prim număr triunghi Numărul Fibonacci . Dacă numărul are mulți factori primi diferiți, modelul arată mai aleatoriu.

Jocul haosului

Acest proces se numește Jocul haosului . S-ar putea să existe câteva puncte rătăcite la început, dar dacă repetați aceiași pași de mai multe ori, distribuția punctelor începe să arate exact ca triunghiul Sierpinski!

Există multe alte versiuni ale acestuia - de exemplu, am putea începe cu un pătrat sau un pentagon, am putea adăuga reguli suplimentare, cum ar fi să nu putem selecta același vertex de două ori la rând sau am putea alege următorul punct la un raport în afară de 12 de-a lungul segmentului. În unele dintre aceste cazuri, vom primi doar o distribuție aleatorie a punctelor, dar în alte cazuri, dezvăluim și mai multe fractale:

Ați descoperit covorul Sierpinski sau acest fulg de zăpadă pentagonală pe baza raportului de aur ?

Automate celulare

Un automat celular este o grilă formată din mai multe celule individuale. Fiecare celulă poate fi în „stări” diferite (de ex. Culori diferite), iar starea fiecărei celule este determinată de celulele înconjurătoare.

În exemplul nostru, fiecare celulă poate fi fie alb sau negru. Începem cu un rând care conține doar un singur pătrat negru. În fiecare rând care urmează, culoarea fiecărei celule este determinată de cele trei celule imediat mai sus. Atingeți cele opt opțiuni posibile de mai jos pentru a-și întoarce culoarea - puteți găsi un set de reguli care creează un model similar triunghiului Sierpinski?

Există două opțiuni pentru fiecare dintre cele opt opțiuni, ceea ce înseamnă că există 28= În total reguli posibile. Unele, precum regula 126 , arată ca triunghiul Sierpinski. Alții, cum ar fi regula 30 , arată complet haotic. A fost descoperit de Stephen Wolfram în 1983, iar computerele le pot folosi chiar pentru a genera numere aleatorii!

Tetrahedra Sierpinski

Există multe variante ale triunghiului Sierpinski și alte fractale cu proprietăți similare și procese de creare. Unele arată în două dimensiuni, cum ar fi covorul Sierpinski pe care l-ai văzut mai sus. Alții arată tridimensional, ca aceste exemple: