Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

fractaliiTriunghiul Sierpinski

Timp de citit: ~25 min

Unul dintre fractalele pe care le-am văzut în capitolul precedent a fost triunghiul Sierpinski , care poartă numele matematicianului polonez Wacław Sierpiński . Poate fi creat începând cu un triunghi mare, echilateral și apoi tăind în mod repetat triunghiuri mai mici din centrul său.

Wacław Sierpiński a fost primul matematician care s-a gândit la proprietățile acestui triunghi, dar a apărut cu multe secole mai devreme în lucrări de artă, modele și mozaicuri.

Iată câteva exemple de plăci de podele din diferite biserici din Roma:

După cum se dovedește, triunghiul Sierpinski apare într-o gamă largă de alte domenii ale matematicii și există multe moduri diferite de a-l genera. În acest capitol, vom explora unele dintre ele!

Triunghiul lui Pascal

S-ar putea să vă amintiți deja triunghiul Sierpinski din capitolul nostru despre triunghiul lui Pascal . Aceasta este o piramidă de număr în care fiecare număr este suma celor două numere de mai sus. Atingeți toate numerele uniforme din triunghiul de mai jos, pentru a le evidenția - și vedeți dacă observați un model:

1
1
1
1
2
1
1
3
3
1
1
4
6
4
1
1
5
10
10
5
1
1
6
15
20
15
6
1
1
7
21
35
35
21
7
1
1
8
28
56
70
56
28
8
1
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
1
10
45
120
210
252
210
120
45
10
1
1
11
55
165
330
462
462
330
165
55
11
1
1
12
66
220
495
792
924
792
495
220
66
12
1
1
13
78
286
715
1287
1716
1716
1287
715
286
78
13
1
1
14
91
364
1001
2002
3003
3432
3003
2002
1001
364
91
14
1
1
15
105
455
1365
3003
5005
6435
6435
5005
3003
1365
455
105
15
1
1
16
120
560
1820
4368
8008
11440
12870
11440
8008
4368
1820
560
120
16
1
1
17
136
680
2380
6188
12376
19448
24310
24310
19448
12376
6188
2380
680
136
17
1
1
18
153
816
3060
8568
18564
31824
43758
48620
43758
31824
18564
8568
3060
816
153
18
1

Triunghiul lui Pascal poate fi continuat în jos pentru totdeauna, iar modelul Sierpinski va continua cu triunghiuri mai mari și mai mari. Puteți vedea deja începutul unui triunghi și mai mare, începând din rândul 16.

Dacă două celule adiacente sunt divizibile cu 2, atunci suma lor din celula de dedesubt trebuie să fie divizibilă și de 2 - de aceea putem obține triunghiuri colorate (sau celule unice). Desigur, putem încerca și colorarea tuturor celulelor divizibile cu alte numere decât 2 . Ce crezi că se va întâmpla în acele cazuri?

Divisible by ${n}:

Aici puteți vedea o versiune minusculă a primelor 128 de rânduri ale triunghiului lui Pascal. Am evidențiat toate celulele care sunt divizibile cu ${n} - ce observi?

Pentru fiecare număr, obținem un model triunghiular diferit similar triunghiului Sierpinski. Modelul este deosebit de regulat dacă alegem un . Dacă numărul are _mulți factori primi diferiți, modelul arată mai aleatoriu._

Jocul haosului

Aici puteți vedea cele trei vertexuri ale unui triunghi echilateral. Atingeți oriunde în zona gri pentru a crea un al patrulea punct.

Să jucăm un joc simplu: alegem unul dintre vârfurile triunghiului la întâmplare, desenăm un segment de linie între punctul nostru și vertex, apoi găsim punctul mediu al acelui segment.

Acum repetăm procesul: alegem un alt vertex aleatoriu, desenăm segmentul din ultimul nostru punct, apoi găsim punct mediu . Rețineți că vom colora aceste puncte noi pe baza culorii vertexului triunghiului ales.

Până acum, nu s-a întâmplat nimic surprinzător - dar urmăriți cum repetăm același proces de mai multe ori:

Acest proces se numește Jocul haosului . S-ar putea să existe câteva puncte rătăcite la început, dar dacă repetați aceiași pași de mai multe ori, distribuția punctelor începe să arate exact ca triunghiul Sierpinski!

Există multe alte versiuni ale acestuia - de exemplu, am putea începe cu un pătrat sau un pentagon, am putea adăuga reguli suplimentare, cum ar fi să nu putem selecta același vertex de două ori la rând sau am putea alege următorul punct la un raport în afară de 12 de-a lungul segmentului. În unele dintre aceste cazuri, vom primi doar o distribuție aleatorie a punctelor, dar în alte cazuri, dezvăluim și mai multe fractale:

Triangle
Square
Pentagon

Ați descoperit sau acest pe baza raportului de aur ?

Automate celulare

Un automat celular este o grilă formată din mai multe celule individuale. Fiecare celulă poate fi în „stări” diferite (de ex. Culori diferite), iar starea fiecărei celule este determinată de celulele înconjurătoare.

În exemplul nostru, fiecare celulă poate fi fie alb sau negru. Începem cu un rând care conține doar un singur pătrat negru. În fiecare rând care urmează, culoarea fiecărei celule este determinată de cele trei celule imediat mai sus. Atingeți cele opt opțiuni posibile de mai jos pentru a-și întoarce culoarea - puteți găsi un set de reguli care creează un model similar triunghiului Sierpinski?

Există două opțiuni pentru fiecare dintre cele opt opțiuni, ceea ce înseamnă că există 28= În total reguli posibile. Unele, precum , arată ca triunghiul Sierpinski. Alții, cum ar fi , arată complet haotic. A fost descoperit de Stephen Wolfram în 1983, iar computerele le pot folosi chiar pentru a genera numere aleatorii!

Automatele celulare arată cât de complexe pot fi create tipare după reguli foarte simple - la fel ca fractalele. Multe procese din natură respectă, de asemenea, reguli simple, dar produc sisteme incredibil de complexe.

În unele cazuri, acest lucru poate duce la apariția unor tipare care arată la fel ca automatele celulare, de exemplu culorile de pe coaja acestui melc.

Conus textile, un melc veninos de mare

Tetrahedra Sierpinski

Există multe variante ale triunghiului Sierpinski și alte fractale cu proprietăți similare și procese de creare. Unele arată în două dimensiuni, cum ar fi covorul Sierpinski pe care l-ai văzut mai sus. Alții arată tridimensional, ca aceste exemple:

Tetrahedra Sierpinski

Piramida Sierpinski