Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Transformări și SimetrieTransformări Rigide

Timp de citit: ~30 min
Această pagină a fost tradusă automat și poate conține erori. Vă rugăm să luați legătura dacă doriți să ne ajutați să revizuim traducerile!

O transformare rigidă este un tip special de transformare ce nu schimbă dimensiunea și forma figurii inițiale. Imaginează-ți că figura este făcută dintr-un material solid precum lemnul sau metalul: o putem muta, întoarce sau răsturna, dar nu o putem întinde sau deforma altfel.

Care dintre aceste transformări sunt rigide?

În cazul transformărilor rigide imaginea este mereu forma inițială. Există trei tipuri diferite de transformări rigide:

O transformare care doar mișcă o formă se numește translație.

O transformare care răstoarnă o formă se numește reflexie.

O transformare care învârte o formă se numește rotație.

Putem combina mai multe tipuri de transformări pentru a crea transformări mai complexe – de exemplu, o translație urmată de o rotație.

Dar mai întâi hai să aruncăm o privire mai în detaliu asupra fiecărui tip de transformare.

Translații

O translație este o transformare care deplasează fiecare punct al unei figuri la aceeași distanță și în aceeași direcție.

În sistemul de coordonate carteziene, putem defini o translație prin distanța cu care este deplasată de-a lungul axei x și a axei y. De exemplu, o transformare de (3,5) deplasează o formă cu 3 de-a lungul axei x și cu 5 de-a lungul axei y.

Translat cu (, )

Translat by (, )

Translat cu (, )

Acum este rândul tău – translează următoarele forme după cum a fost arătat:

Translat cu (3, 1)

Translat cu (–4, –2)

Translat cu (5, –1)

Reflexii

O reflexie este o transformare care “răstoarnă” sau “oglindește” o formă față de o linie. Această linie se numește axă de reflexie.

Desenează axa de reflexie pentru fiecare din următoarele exemple:

Acum este rândul tău – desenează reflexia fiecărei forme de mai jos:

Să observăm că dacă un punct se află pe axa de reflexie, imaginea sa este punctul inițial.

În toate exemplele de mai sus, axa de reflexie a fost orizontală, verticală sau înclinată la un unghi de 45° – ceea ce ajută ca reflexia să se deseneze ușor. Dacă nu este cazul, construcția ei necesită un pic mai mult de lucru:

Pentru a reflecta această formă de-a lungul axei de reflexie, trebuie să reflectăm fiecare vârf în parte și apoi să le unim din nou.

Hai să alegem unul dintre vârfuri și să desenăm dreapta care trece prin acest vârf și este perpendiculară pe axa de reflexie.

Acum putem măsura distanța de la vârf până la axa de reflexie și să trasăm punctul care se află la aceeași distanță pe partea cealaltă. (Putem folosi o riglă sau un compas pentru a face asta.)

Putem face la fel pentru toate celelalte vârfuri ale figurii noastre.

Acum trebuie doar să unim reflexiile vârfurilor în ordinea corectă și am obținut reflexia!

Rotații

O rotație este o transformare geometrica ce “învârte” o formă cu un anume unghi în jurul unui punct fix. Acest punct se numește centru de rotație. Rotațiile pot fi în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic.

Încearcă să rotești formele de mai jos în jurul centrului de rotație roșu:

Rotește cu 90° în sensul acelor de ceasornic.

Rotește cu 180°.

Rotește cu 90° în sens invers acelor de ceasornic.

Este mult mai dificil să desenăm rotații care nu sunt exact la 90° sau 180°. Hai să încercăm să rotim această formă cu ${10*ang}° în jurul centrului de rotație.

Ca și la reflexii, trebuie să rotim individual fiecare punct al formei.

Începem prin a alege unul dintre vârfuri și a desena o dreaptă până la centrul de rotație.

Folosind un raportor, putem măsura măsura unui unghi de ${ang*10}° în jurul centrului de rotație. Hai să desenăm o a doua dreaptă în acel unghi.

Folosind un compas sau o riglă, putem găsi pe această dreaptă un punct care se află la aceeași distanță față de centrul de rotație ca punctul inițial.

Acum trebuie să repetăm acești pași pentru toate celelalte vârfuri ale formei noastre.

Și în sfârșit, la fel ca mai înainte, putem uni vârfurile individuale pentru a obține imaginea rotită a formei noastre inițiale.

Transformările sunt un concept important în multe din ramurile matematicii, nu doar în geometrie. De exemplu, putem transforma o funcție prin deplasarea sau rotirea graficului lor. De asemenea, putem utiliza transformările pentru a determina dacă două forme sunt congruente.