English
中文
Deutsch
Română
Русский
TürkçeGeometria EuclidianăAxiomele lui Euclid
Înainte de a formula orice demonstrație avem nevoie de o terminologie comună care să ne permită sa vorbim mai ușor despre obiectele geometrice. Acestea nu sunt neapărat interesante, dar ar trebui ca majoritatea să îți fie deja cunoscute:
Un
În Mathigon, punctele mari, îngroșate indică puncte interactive pe care le poți mișca, în timp ce punctele mai mici, goale la interior indică puncte fixe pe care nu le poți mișca.
O
Dreptele sunt notate cu litere mici precum a sau b. Le putem nota și folosind două puncte de pe dreaptă, cum ar fi
Un
O
La notarea semidreptelor săgeata indică direcția în care se extinde la infinit, de exemplu
Un
Congruența
Cele doua forme de la stânga arată identic. Au aceeași dimensiune și formă. Putem [roti si translata] una din ele pentru a se potrivi exact pe cealaltă. În geometrie spunem ca cele două forme sunt
Simbolul pentru congruență este
Iată câteva obiecte geometrice – conectează toate perechile care sunt congruente unele cu altele. Amintește-ți că mai mult de două forme pot fi congruente, iar unele forme s-ar putea să nu fie congruente cu nici o altă formă:
Două segmente sunt congruente dacă
Rețineți că “congruent” nu înseamnă “egal”. De exemplu, nu e necesar ca dreptele și unghiurile să fie orientate in aceeași direcție. Totuși, congruența are multe din proprietățile egalității:
- Congruența este simetrică: daca
X ≅ Y atunci șiY ≅ X . - Congruența este reflexivă: orice formă este congruentă cu ea însăși. De exemplu,
A ≅ A . - Congruența este tranzitivă: dacă
X ≅ Y șiY ≅ Z atunci șiX ≅ Z .
Paralele și perpendiculare
Două drepte care nu se intersectează niciodată se numesc
Un bun exemplu de linii paralele din viața reală sunt liniile de cale ferată. Rețineți că mai mult de două linii pot fi paralele una cu alta!
În diagrame paralele se notează adăugând una sau mai multe săgeți mici. În acest exemplu
Opusul paralelor este reprezentat de două drepte concurente care formează un unghi de 90° (unghi drept). Aceste drepte se numesc
În acest exemplu, vom scrie a
Axiomele lui Euclid
Matematicianii greci și-au dat seama ca pentru a scrie demonstrații formale e nevoie de un punct de pornire: enunțuri simple și intuitive pe care toată lumea le acceptă ca fiind adevărate. Acestea se numesc
O parte de bază a matematicii o reprezintă combinarea diferitelor axiome pentru a demonstra rezultate mai complexe folosind regulile logicii.
Matematicianul grec
Euclid din Alexandria
Prima Axiomă Oricare două puncte pot fi unite printr-un singur segment de dreaptă.
A Doua Axiomă Orice segment de dreaptă poate fi extins într-o dreaptă infinită
A Treia Axiomă Fiind date un punct P și o distanța r, se poate trasa un cerc cu centrul în P și raza r.
A Patra Axiomă Oricare doua unghiuri drepte sunt congruente.
A Cincea Axiomă Fiind dată o dreaptă L și un punct P în afara lui L, există o singură dreaptă care trece prin P și este
Fiecare din aceste axiome pare destul de evidentă și de la sine înțeleasă, dar împreună ele sunt baza geometriei si pot fi utilizate pentru a deduce aproape totul. Conform lui
Euclid a publicat primele cinci axiome într-o carte cu titlul “Elemente”. Aceasta este primul exemplu din istorie a unei abordări sistematice a matematicii și a fost folosită drept manual de matematică timp de mii de ani.
Unul din cei care au studiat lucrarea lui Euclid a fost președintele american
Acesta este doar un singur exemplu în care ideile lui Euclid în matematică au inspirat subiecte complet diferite.