Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Geometria EuclidianăAxiomele lui Euclid

Timp de citit: ~25 min

Înainte de a formula orice demonstrație avem nevoie de o terminologie comună care să ne permită sa vorbim mai ușor despre obiectele geometrice. Acestea nu sunt neapărat interesante, dar ar trebui ca majoritatea să îți fie deja cunoscute:

Un punct este o poziție anume din spațiu. Punctele descriu o poziție, dar nu au dimensiune sau formă. Ele sunt notate cu majuscule.

În Mathigon, punctele mari, îngroșate indică puncte interactive pe care le poți mișca, în timp ce punctele mai mici, goale la interior indică puncte fixe pe care nu le poți mișca.

O dreaptă este un set infinit de puncte care se extind în ambele direcții. Liniile sunt întotdeauna drepte și, la fel ca punctele, nu ocupă spațiu - nu au lățime.

Dreptele sunt notate cu litere mici precum a sau b. Le putem nota și folosind două puncte de pe dreaptă, cum ar fi PQ sau QP. Ordinea punctelor nu este importantă.

Un segment de dreaptă este bucata dintre două puncte ale unei drepte, fără a se prelungi la infinit. Îl putem nota la fel ca pe dreaptă, dar fără săgeți pe bara de deasupra: AB or BA. Ordinea punctelor nu este importantă.

O semidreaptă este ceva între dreaptă și segment de dreaptă: se extinde la nesfârșit doar într-o singură parte. Te poți gândi la semidrepte ca la niște raze de soare: ele încep dintr-un punct (soarele) și se prelungesc la infinit.

La notarea semidreptelor săgeata indică direcția în care se extinde la infinit, de exemplu AB. De data aceasta ordinea punctelor este importantă.

Un cerc este mulțime punctelor aflate la aceeași distanță față de un punct din centru. Această distanță se numește rază.

Congruența

Cele doua forme de la stânga arată identic. Au aceeași dimensiune și formă. Putem [roti si translata] una din ele pentru a se potrivi exact pe cealaltă. În geometrie spunem ca cele două forme sunt congruente.

Simbolul pentru congruență este și vom nota AB.

Iată câteva obiecte geometrice – conectează toate perechile care sunt congruente unele cu altele. Amintește-ți că mai mult de două forme pot fi congruente, iar unele forme s-ar putea să nu fie congruente cu nici o altă formă:

Două segmente sunt congruente dacă . Două unghiuri sunt congruente dacă (în grade).

Rețineți că “congruent” nu înseamnă “egal”. De exemplu, nu e necesar ca dreptele și unghiurile să fie orientate in aceeași direcție. Totuși, congruența are multe din proprietățile egalității:

  • Congruența este simetrică: daca XY atunci și YX.
  • Congruența este reflexivă: orice formă este congruentă cu ea însăși. De exemplu, AA.
  • Congruența este tranzitivă: dacă XY și YZ atunci și XZ.

Paralele și perpendiculare

Două drepte care nu se intersectează niciodată se numesc paralele. Ele sunt orientate în aceeași direcție și distanța dintre ele este mereu .

Un bun exemplu de linii paralele din viața reală sunt liniile de cale ferată. Rețineți că mai mult de două linii pot fi paralele una cu alta!

În diagrame paralele se notează adăugând una sau mai multe săgeți mici. În acest exemplu abc și de. Simbolul înseamnă “este paralelă cu”.

Opusul paralelor este reprezentat de două drepte concurente care formează un unghi de 90° (unghi drept). Aceste drepte se numesc perpendiculare.

În acest exemplu, vom scrie a b. Simbolul înseamnă “este perpendiculară pe”.

Axiomele lui Euclid

Matematicianii greci și-au dat seama ca pentru a scrie demonstrații formale e nevoie de un punct de pornire: enunțuri simple și intuitive pe care toată lumea le acceptă ca fiind adevărate. Acestea se numesc axiome (sau postulate).

O parte de bază a matematicii o reprezintă combinarea diferitelor axiome pentru a demonstra rezultate mai complexe folosind regulile logicii.

Matematicianul grec Euclid din Alexandria, care este adesea numit părintele geometriei, a enunțat cele cinci axiome ale geometriei:

Euclid din Alexandria

Prima Axiomă
Oricare două puncte pot fi unite printr-un singur segment de dreaptă.

A Doua Axiomă
Orice segment de dreaptă poate fi extins într-o dreaptă infinită

A Treia Axiomă
Fiind date un punct P și o distanța r, se poate trasa un cerc cu centrul în P și raza r.

A Patra Axiomă
Oricare doua unghiuri drepte sunt congruente.

A Cincea Axiomă
Fiind dată o dreaptă L și un punct P în afara lui L, există o singură dreaptă care trece prin P și este paralelă cu L.

Fiecare din aceste axiome pare destul de evidentă și de la sine înțeleasă, dar împreună ele sunt baza geometriei si pot fi utilizate pentru a deduce aproape totul. Conform lui Isaac Newton, “gloria geometriei o reprezintă faptul că din atât de puține principii, se poate realiza atât de mult”.

Euclid a publicat primele cinci axiome într-o carte cu titlul “Elemente”. Aceasta este primul exemplu din istorie a unei abordări sistematice a matematicii și a fost folosită drept manual de matematică timp de mii de ani.

Unul din cei care au studiat lucrarea lui Euclid a fost președintele american Thomas Jefferson. El a vrut să urmeze o abordare similară atunci când a redactat Declarația de Independență în anul 1776. El începe enunțând câteva “axiome” simple și apoi “demonstrează” rezultate mai complexe:

“Considerăm că aceste adevăruri sunt evidente: că toți oamenii au fost creați egali, că sunt înzestrați de Creatorul lor cu anumite drepturi inalienabile, printre care Viața, Libertatea și căutarea Fericirii.”

Prin urmare, ... declarăm, că aceste Colonii Unite sunt și trebuie să fie state libere și independente.”

Acesta este doar un singur exemplu în care ideile lui Euclid în matematică au inspirat subiecte complet diferite.

Archie