Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Geometria EuclidianăConstrucții cu rigla și compasul

Timp de citit: ~20 min

Poate ai observat că cele cinci axiome ale lui Euclid nu pomenesc nimic despre măsurarea distanțelor sau a unghiurilor. Până acum aceasta a fost o parte fundamentală a geometriei, de exemplu, măsurarea suprafețelor și a volumelor.

Cu toate acestea, pe vremea lui Thales sau a lui Euclid, nu exista un cadru universal de unități precum avem noi azi. Distanțele erau adesea măsurate folosind părți ale corpului, de exemplu, lungimea degetului sau lungimea brațului. Acestea nu sunt foarte precise și variază de la o persoană la alta.

Pentru a măsura distanțe mai lungi arhitecții sau topografii foloseau sfori înnodate: bucăți lungi de sfoară care conțineau multe noduri situate la intervale egale. Dar nici acestea nu erau perfect precise și diferite corzi aveau nodurile poziționate la distanțe ușor diferite.

Matematicienii greci nu doreau sa aibă de-a face cu aceste aproximări. Ei erau interesați mai mult de legile fundamentale ale geometriei decăt de aplicațiile lor practice.

Tocmai de aceea ei au venit cu o versiune mult mai idealizată a universului nostru: una în care punctele nu pot avea dimensiune și dreptele nu pot avea lățime. Bineînțeles că este ca acestea să fie desenate pe hârtie. Punctele vizibile vor ocupa mereu un pic de spațiu și dreptele vor avea întotdeauna o mică lățime. De aceea desenele noastre sunt întotdeauna doar ”aproximări”.

Practic, axiomele lui Eclid ne spun ce este posibil în versiunea geometriei sale. Se pare ca avem nevoie doar de două unelte simple pentru a putea schița acest lucru pe hârtie:

Un dreptar este ca o riglă fără marcaje. Îl poți folosi pentru a uni două puncte (ca în Axioma 1) sau pentru a prelungi un segment de dreaptă (ca în Axioma 2).

Un compas îți permite să desenezi un cerc de mărime dată în jurul unui punct (ca în Axioma 3).

Axiomele 4 și 5 se referă mai degrabă la compararea proprietăților formelor decât la trasarea lor. De aceea ele nu au nevoie de instrumente specifice.

Vă puteți imagina că matematicienii greci se gândeau la geometrie pe plajă și desenau diferite forme în nisip folosind scânduri lungi pe post de dreptar și bucăți de sfoară pe post de compas.

Chiar daca aceste unelte par foarte primitive, poți desena cu ele un numar mare de forme. Aceasta a devenit ca un fel de puzzle pentru matematicieni: să încerce să găsească moduri de a construi diferite forme geometrice folosind doar un dreptar și un compas.

Matematicianul grec Arhimede studia geometria în momentul în care a fost omorât de către invadatorii romani. Ultimele sale cuvinte au fost “nu îmi deranjați cercurile”.

Desenează un triunghi echilateral folosind doar dreptarul și compasul.

Începe prin a desena un segment de dreaptă oriunde în chenarul din dreapta. Cu unealta linie selectată, trage de la început la sfârșit. Acest segment va fi una din laturile triunghiului.

Apoi desenează două cercuri care au ca centru unul din capetele segmentului și mergi până la celălalt capăt. Cu unealta cerc selectată, trage de la un capăt până la celălalt.

Deja avem două dintre vârfurile triunghiului, iar al treilea este intersecția celor două cercuri. Folosește din nou unealta linie pentru a desena cele două laturi care lipsesc și finalizează triunghiul.

Acum aceste două laturi și aceste două laturi sunt fiecare aceluiași cerc, așa că trebuie sa aibă aceeași lungime. Cu alte cuvinte, toate cele trei laturi ale triunghiului sunt congruente și prin urmare este într-adevăr un triunghi echilateral.

Mijlocul și Mediatoarea Unui Segment

ÎN CURÂND – Constructing Midpoints and Perpendicular Bisectors

Bisectoarea unui unghi

ÎN CURÂND – Cum se construiește bisectoarea unui unghi

Construcții Imposibile

În următorul capitol vom vedea și mai multe forme ce pot fi construite astfel. Totuși, există o limita in geometria euclidiană: unele construcții sunt pur și simplu imposibile folosind doar dreptarul și compasul.

Conform legendei, orașul Delos din Grecia antică a fost atins cândva de o boală îngrozitoare. Oracolul din Delphi le-a spus locuitorilor că aceasta era o pedeapsă de la zei și că boala se va termina dacă vor construi un nou altar pentru templul lor care să aibă volumul exact dublu față de cel existent.

Reconstrucția unui templu din Delphi

Rețineți că dublarea volumului nu este același lucru cu dublarea muchiei cubului. De fapt, dacă volumul crește de 2 ori, muchia a cubului va crește de 23.

Încă pare destul de simplu, dar dublarea cubului folosind doar dreptarul și compasul este de fapt imposibilă în geometria euclidiană! Din păcate, pentru locuitorii din Delos asta însemna pierderea oricărei speranțe. Mai există alte două construcții care sunt imposibile. Matematicienii și-au dedicat o mare parte din timp pentru a găsi o soluție, dar fără a avea succes.

Trisecțiunea unghiului
Știm deja cum să împărțim unghiurile în două părți egale. Totuși este imposibil să împărțim în mod similar un unghi în trei părți egale.

Dublarea cubului
Fiind dată muchia unui cub, este imposibil să construim muchia unui alt cub care să aibă volumul exact dublu.

Cuadratura cercului
Fiind dat un cerc, este imposibil să construim un pătrat care să aibă exact aceeași arie.

Rețineti că aceste probleme pot fi rezolvate foarte ușor cu ajutorul algebrei sau folosind rigla și raportorul. Dar sunt imposibil de construit dacă trebuie să le construiești doar cu dreptarul și compasul.