Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Cercuri și PiGrade și Radiani

Timp de citit: ~25 min

Până acum, în geometrie, am măsurat întotdeauna unghiurile în grade. O rotație completă de cerc este °, o rotație de semicerc este °, un sfert de cerc este ° și așa mai departe.

Numărul 360 este foarte potrivit pentru că este divizibil cu multe alte numere: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15 și așa mai departe. Asta înseamnă că multe dintre fracțiunile unui cerc sunt și numere întregi. Dar te-ai intrebat vreodată de unde vine numărul 360 ?

Se pare că 360 de grade reprezintă una din noțiunile cele mai vechi din matematică pe care încă o mai folosim în ziua de azi. Această noțiune s-a dezvoltat in Babilonul Antic în urmă cu peste 5000 de ani.

La acel moment, una din aplicațiile cele mai importante ale matematicii era în astronomie. Soarele determină cele patru anotimpuri pe care agricultorii trebuie sa le cunoască pentru a crește plante. În mod similar, Luna determină valurile care erau importante pentru pescari. Oamenii au studiat și stelele pentru a prezice viitorul sau pentru a comunica cu zeii.

O tabletă babiloniană folosită pentru a calcula 2

Astronomii au observat cum constelațiile vizibile la o anume oră în timpul nopții se mișcau în fiecare zi foarte puțin până când, după aproximativ 60 de zile, ajungeau din nou înapoi in punctul de plecare. Acesta ar putea fi motivul pentru care au împărțit cercul în 360 de grade.

Miezul nopții în ziua ${day}

Bineînțeles că într-un an sunt de fapt 365 de zile (ei bine, 365.242199 ca să fim preciși, dar matematicienii din Babilon lucrau cu cadrane solare și această aproximare era total adecvată.

Se potrivea bine și cu sistemul de numărare în baza 60 de la vremea aceea (căci 6×60=360). Acest sistem este motivul pentru care încă avem 60 de secunde într-un minut și 60 de minute într-o oră - chiar dacă majoritatea celorlalte unitați sunt măsurate în baza 10 (e.g. 10 ani într-un deceniu sau 100 ani într-un secol).

Pentru majoritatea dintre noi, măsurarea unghiurilor în grade este ceva instinctiv: există filme la 360°, skateboarderii pot face rotații de 540 de grade, iar cineva își poate schimba părerea la 180 de grade.

Dar din punct de vedere matematic, alegerea lui 360 este complet arbitrară. Dacă am trăi pe Marte, un cerc ar putea avea 670°, iar un an pe Jupiter are chiar 10.475 de zile.

Un McFlip 540, o rotație de 540°

Radiani

În loc să împartă cercul într-un număr anume de segmente (precum 360 de grade), matematicienii preferă adesea să măsoare unghiurile folosind circumferința unui cerc unitate (un cerc de rază 1).

Un are circumferința .

Pentru o , distanța de-a lungul circumferinței este .

Pentru o , distanța de-a lungul circumferinței este .

Și așa mai departe: acest mod de a măsura unghiurile se numește radian (îl poți reține ca “unitate de rază”).

Orice unghi în grade are o mărime echivalentă în radiani. Conversia este foarte ușoară - la fel ca atunci când faci transformări între alte unități, precum metri și kilometri sau Celsius și Fahrenheit.

360° = 2π rad


= rad


1 rad = °

Se poate scrie valoarea în radiani fie ca un multiplu de π, fie ca un singur număr zecimal. Poți completa acest tabel cu măsurile echivalente ale unghiurile în grade și radiani?

grade060180
radiani0232π

Distanța Parcursă

Ne putem gândi la radiani ca la "distanța parcursă" de-a lungul circumferinței unui cerc unitate. Asta este util mai ales atunci când lucrezi cu obiecte care se mișcă pe o traiectorie circulară.

De exemplu, Stația Spațială Internațională orbitează Pământul la fiecare 1,5 ore. Asta înseamnă că viteza de rotație este radiani pe oră.

Într-un cerc unitate, viteza de rotație este aceeași ca viteza actuală, pentru că lungimea circumferinței este aceeași cu o rotație completă în radiani (ambele sunt 2π).

Raza orbitei SSI este de 6800 km, ceea ce înseamnă că viteza actuală a SSI trebuie să fie = 28483 km pe oră.

${round(p*1.5,1)}h

Se poate vedea în acest exemplu cum radianii sunt o unitate de masură mult mai convenabilă decât gradele? De îndată ce cunoaștem viteza de rotație, trebuie doar sa o înmulțim cu raza pentru a obține viteza efectivă.

Iată un alt exemplu: mașina ta are roți de rază 0,25 m. Dacă tu conduci cu viteza de 20 m/s, roțile mașinii tale se rotesc cu radiani pe secundă (or 802π=13 rotații pe secundă).

Trigonometrie

Pentru majoritatea problemelor simple de geometrie, gradele și radianii sunt complet interschimbabile - fie alegi unitatea de măsură preferată, fie se specifică în întrebare în ce unitate trebuie să dai răspunsul. Cu toate acestea, de îndată ce studiezi trigonometria sau analiza la nivel mai avansat, se dovedește că radianii sunt mult mai convenabili decât gradele.

Majoritatea calculatoarelor au un buton special pentru a schimba între grade și radiani. Funcțiile trigonometrice precum sin, cos și tan primesc măsura unghiului ca date de intrare, iar funcțiile lor inverse arcsin, arccos și arctan returnează măsuri de unghiuri ca date de ieșire. Configurația curentă a calculatorului stabilește ce unități sunt folosite pentru aceste unghiuri.

Cu ajutorul acestui calculator, încearcă să calculezi

sin(30°) = cos(1°) =
sin(30 rad) = cos(1 rad) =

DEG
7
8
9
sin
4
5
6
cos
1
2
3
tan
0
.
C
mode

Utilizarea radianilor are un avantaj deosebit de interesant atunci când folosim funcția sinusoidală. Dacă θ este un unghi foarte mic (mai mic de 20° sau 0,3 rad), atunci sinθθ. De exemplu,

sin(${x}) ${sin(x)}

Aceasta se numește aproximația unghiurilor mici și poate simplifica mult anumite ecuații ce conțin funcții trigonometrice. Vei afla mai multe despre toate acestea în viitor.