Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Cercuri și PiIntroducere

Timp de citit: ~35 min

Încă de la începutul omenirii, oamenii au privit spre cer și au încercat să gasească o explicație pentru viața de pe Pământ folosindu-se de mișcarea stelelor, a planetelor și a Lunii.

Astronomii din Grecia Antică au fost primii care au descoperit că toate corpurile cerești se deplasează pe traiectorii regulate numite orbite. Ei credeau că aceste orbite sunt întotdeauna de formă circulară. Până la urmă, cercul este forma "cea mai perfectă" dintre toate: simetrică în toate direcțiile, ceea ce o face o alegere potrivită pentru ordinea care stă la baza universului nostru.

Pământul se află în centrul universului lui Ptolemeu.

Fiecare punct de pe cerc se află la aceeași distanță față de centrul cercului. Asta înseamna că putem desena punctele cu ajutorul unui compas:

Există trei măsurători importante referitoare la cercuri de care ai nevoie:

  • Raza este distanța de la centrul unui cerc până la margine.
  • Diametrul este distanța dintre două puncte opuse ale unui cerc. Acesta trece prin centru, iar lungimea lui este raza.
  • Circumferința (sau perimetrul) este distanța din jurul unui cerc.

Una din proprietățile importante ale cercurilor este faptul că toate cercurile sunt asemenea. Aceasta se poate demonstra arătând cum toate cercurile se pot potrivi ușor folosind translații și scalări:

Poate îți amintești că, pentru poligoane similare, raportul dintre laturile corespunzătoare este mereu constant. Si la cercuri există ceva similar: raportul dintre circumferință și diametru este acelăsi pentru toate cercurile. Acesta este întotdeauna 3.14159… – un număr misterios numit Pi, care este adesea notat cu litera grecească π care înseamnă “p”. Pi are o infinitate de zecimale care merg la nesfârșit fără a avea un tipar anume:

Aceasta este o roată cu diametrul 1. Pe măsură ce desfacem circumferința, se poate vedea că lungimea sa este exact :

01234π

Pentru un cerc de diametru d, circumferința este C=π×d. În mod similar, pentru un cerc de rază r, circumferința este

C= .

Cercurile sunt perfect simetrice și nu au niciun “punct slab” precm vârfurile unui poligon. Acesta este unul dintre motivele pentru care ele pot fi întâlnite peste tot în natură:

Flori

Planete

Copaci

Fruct

Bule de săpun

Si există multe alte exemple: de la curcubee până la undele apei. Te poți gândi la alte exemple?

De asemenea, se dovedește că cercul este forma cu cea mai mare arie pentru o circumferință dată. De exemplu, dacă avem o sfoară cu lungimea 100 m, o putem folosi pentru a încadra cea mai mare suprafață dacă formezi un cerc (mai degrabă decât alte forme precum dreptunghiul sau triunghiul).

În natură, obiectele precum picăturile de apă sau bulele de aer își pot economisi energia devenind circulare sau sferice și reducându-și astfel suprafața.

Triunghi
Pătrat
Pentagon
Cerc

Circumferința = 100, Aria = ${area}

Aria Cercului

Dar totuși cum putem calcula aria unui cerc? Hai să încercăm să folosim tehnica pe care am folosit-o pentru a afla aria unui patrulater: descompunem forma în mai multe părți diferite și le rearanjăm sub forma unei figuri geometrice a cărei arie o știm deja (de exemplu: dreptunghi sau triunghi).

Singura diferență este că, din cauză că cercurile sunt curbate, va trebui să folosim niște aproximări:

rπr

Aici se poate vedea un cerc împărțit în ${n1} felii. Mișcă glisorul pentru a alinia feliile de cerc pe un rând.

Dacă mărim numărul feliilor de cerc la ${n1}, această formă începe sa semene din ce în ce mai mult cu un .

Lățimea dreptunghiului este egală cu cercului. Lungimea dreptunghiului este egală cu cercului. (Observă cum jumătate dintre felii sunt orientate în jos și jumătate sunt orientate în sus.)

Prin urmare, aria totală a dreptunghiului este aproximativ A=πr2.

r2πr

Aici se poate vedea un cerc împărțit în ${toWord(n)} inele. La fel ca mai înainte, poți muta glisorul pentru a “îndrepta” inelele.

Dacă mărim numărul inelelor la ${n2}, această formă începe să semene din ce în ce mai mult cu un .

Înălțimea triunghiului este egală cu cercului. Baza triunghiului este egală cu cercului. Prin urmare, aria totală a triunghiului este aproximativ

A=12baza×înălțimea=πr2.

Dacă am putea folosi o infinitate de inele sau felii de cerc, aproximările de mai sus ar fi perfecte – și ambele ne oferă aceeași formulă pentru aria unui cerc:

A=πr2.

Calculul numărului Pi

Așa cum ai vazut mai sus, π=3.1415926 nu este un număr întreg simplu și zecimalele lui merg la infinit, fără niciun tipar de repetare. Numerele care au această proprietate se numesc numere iraționale și asta înseamnă că π nu se poate exprima ca o fracție simplă ab.

Asta înseamnă și că nu vom putea scrie niciodată toate zecimalele lui Pi – până la urmă, sunt o infinitate de zecimale. Matematicienii din Grecia Antică și China Antică au calculat primele patru zecimale ale lui Pi prin aproximarea cercurilor folosind poligoane regulate. Observă cum, cu cât adaugi mai multe laturi, poligonul începe sa arate ca un cerc:

În 1665, Isaac Newton a reușit să calculeze 15 zecimale. Astăzi, noi putem folosi calculatoare performante pentru a calcula valoarea lui Pi cu precizie mult mai mare.

Recordul actual este de 31.4 de trilioane de zecimale. O carte tiparită care ar conține toate aceste zecimale ar avea o grosime de aproximativ 400 km – aceasta este înălțimea la care Stația Spațială Internațională orbitează Pământul!

Bineînțeles că nu e nevoie să memorezi atât de multe din zecimalele numărului Pi. De fapt, raportul 227=3.142 este o aproximare bună.

O modalitate de calculare a numărul Pi este folosirea secvențelor infinite de numere. Iată un exemplu descoperit de Gottfried Wilhelm Leibniz în 1676:

π=4143+4547+494+

Pe măsura ce calculăm din ce în ce mai mulți termeni ai acestei serii, urmând mereu același tipar, rezultatul va ajunge din ce în ce mai aproape de Pi.

Mulți matematiciani cred că Pi are o proprietate și mai interesantă: este un număr normal. Asta înseamnă că cifrele de la 0 la 9 apar complet aleator, de parcă natura ar fi aruncat cu un zar cu 10 fețe de o infinitate de ori pentru a stabili valoarea lui Pi.

Iată primele 100 de zecimale ale lui Pi. Mișca cursorul peste o parte din celule pentru a vedea cum sunt distribuite zecimalele.

3
.
1
4
1
5
9
2
6
5
3
5
8
9
7
9
3
2
3
8
4
6
2
6
4
3
3
8
3
2
7
9
5
0
2
8
8
4
1
9
7
1
6
9
3
9
9
3
7
5
1
0
5
8
2
0
9
7
4
9
4
4
5
9
2
3
0
7
8
1
6
4
0
6
2
8
6
2
0
8
9
9
8
6
2
8
0
3
4
8
2
5
3
4
2
1
1
7
0
6
7
9

Dacă Pi este un număr normal, asta înseamnă că ne putem gândi la orice șir de cifre și el va apărea undeva între zecimalele lui. Aici poți căuta în primul milion de zecimale ale lui Pi - conțin ele ziua ta de naștere?

Primul milion de zecimale ale lui Pi

Caută un șir de zecimale:
3.

Am putea chiar converti o întreagă carte, precum Harry Potter, într-un șir foarte lung de zecimale (a = 01, b = 02, și așa mai departe). Dacă Pi este normal, acest șir va apărea undeva între zecimalele sale, dar ar dura milioane de ani sa calculăm suficiente zecimale astfel încât să-l gasim.

Pi este ușor de înțeles, dar e de o importanță fundamentală în știință și matematică. Acesta ar putea fi motivul pentru care Pi a devenit neobișnuit de popular în cultura noastră (cel puțin comparat cu alte subiecte din matematică):

Pi este combinația secretă a tabletei din “O noapte la muzeu 2”.

Profesorul Frink (“Familia Simpson”) reduce la tăcere o mulțime de oameni de știința când afirmă că Pi este egal cu 3.

Spock (“Star Trek”) dezactivează un calculator rău cerându-i să calculeze ultima zecimală a lui Pi.

Există chiar și Ziua Pi care se sărbătorește în fiecare an fie pe 14 martie, pentru că π3.14, fie pe 22 iulie, pentru că π227.