Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Cercuri și PiSfere, Conuri și Cilindri

Timp de citit: ~50 min

În capitolele precedente, am studiat proprietățile cercurilor pe o suprafață plană. Dar lumea noastră este de fapt tridimensională, așadar hai sa aruncăm o privire asupra câtorva corpuri geometrice 3D care au ca bază un cerc:

Un cilindru este format din două cercuri paralele și congruente unite printr-o suprafață curbată.

Un con are o bază circulară care este unită printr-o suprafață curbată de un singur punct (numit vertex).

Fiecare punct de pe suprafața unei sfere se află la aceeași distanță față de centrul său.

Observă cum definiția unei sfere este aproape identică cu definiția – cu excepția că este în spațiul tridimensional!

Cilindrul circular

Aici se poate vedea Gazometrul din Oberhausen, Germania. Aici se stoca gazul natural folosit pe post de carburant de către fabricile și centralele electrice din vecinătate. Gazometrul are o înălțime de 120m, iar baza și acoperișul sunt două cercuri mari cu raza de 35m. Apar două întrebări importante la care inginerii ar dori să răspundă:

  • Cât gaz natural poate fi stocat? Acesta este unui cilindru.
  • Cât oțel este necesar pentru a construi gazometrul? Acesta este (aproximativ) cilindrului.

Hai să încercăm să găsim formulele de calcul pentru ambele rezultate:

Gazometrul Oberhausen

Volumul unui Cilindru

Partea de sus și partea de jos ale unui cilindru sunt două cercuri congruente, numite baze. înălțimea h a unui cilindru este lungimea perpendicularei dintre aceste două baze, iar raza r a unui cilindru este chiar raza bazelor circulare.

Putem aproxima un cilindru folosind o prismă cu ${n} laturi. Pe măsură ce numărul laturilor crește, prisma începe să semene din ce în ce mai mult cu un cilindru:

Chiar dacă un cilindru nu este din punct de vedere tehnic o prismă, există multe proprietăți comune. În ambele cazuri putem afla volumul înmulțind aria bazei cu înălțimea lor. Asta înseamnă că un cilindru cu raza r și înălțimea h are volumul

V=

De reținut că raza și înălțimea trebuie să fie exprimate în aceeași unitate de măsură. De exemplu, dacă r și h sunt în cm, atunci volumul va fi în .

În exemplele de mai sus, cele două baze ale cilindrului se află întotdeauna una direct deasupra celeilalte: numim asta cilindru drept. Dacă bazele nu se află direct una deasupra celeilalte, avem un
cilindru oblic. Bazele sunt tot paralele, dar lateralele par că "se înclină" într-un unghi diferit de 90°.

Turnul din Pisa din Italia nu este chiar un cilindru oblic.

Volumul unui cilindru oblic este exact la fel ca cel al unui cilindru drept care are aceeași rază și înălțime. Aceasta se datorează Principiului lui Cavalieri, nume dat dupa matematicianul italian Bonaventura Cavalieri: dacă două corpuri geometrice au aceeași secțiune transversală și aceeași înălțime, atunci ele vor avea același volum.

Imaginează-ți că tai un cilindru într-o mulțime de de discuri subțiri. Putem glisa apoi aceste discuri orizontale astfel încât să obținem un cilindru oblic. Volumul discurilor individuale nu se schimbă pe măsură ce cilindrul devine oblic, de aceea volumul total rămâne constant:

Aria unui Cilindru

Pentru a afla aria unui cilindru, avem nevoie să-i "desfășurăm" pânza. Poți încerca asta pe cont propriu, dezlipind, de exemplu, eticheta de pe un borcan cu mâncare.

Există două , unul în partea de sus și unul în partea de jos a unui cilindru. Partea curbă este de fapt un mare.

  • Cele două cercuri au fiecare aria .
  • Înălțimea dreptunghiului este și lungimea dreptunghiului este la fel ca cercurilor: .

Rezultă că suprafața totală a unui cilindru de raza r și înălțimea h este dată de

A= .

Cilindrii se află peste tot în lumea noastră - de la conserve de băuturi carbogazoase până la hârtie igienică sau conducte de apă. Poți găsi și alte exemple?

Gazoometrul de deasupra avea raza de 35m și înălțimea de 120m. Acum îi putem calcula volumul care este aproximativ m3, iar aria sa este aproximativ m2.

Conuri

Un con este un corp geometric tridimensional care are o bază circulară. Laterala sa se “îngustează în sus” așa cum se vede în diagramă și se termină într-un punct unic numit vertex.

Raza conului este raza bazei circulare și înălțimea conului este lungimea perpendicularei de la bază la vertex.

La fel ca și alte figuri întâlnite anterior, conurile se află peste tot în jurul nostru: cornete de înghețată, conuri de trafic, anumite acoperișuri și chiar brazi de Crăciun. Ce alte idei îți mai vin în minte?

Volumul unui con

Am calculat anterior volumul unui cilindru aproximându-l cu o prismă. În mod similar, putem afla volumul unui con aproximându-l cu o piramidă.

Iată o piramidă cu ${n} fețe. Pe măsură ce numărul fețelor crește, piramida începe să arate din ce în ce mai mult ca un con. De fapt, am putea să ne gândim la un con ca la o piramida cu o infinitate de muchii!

Aceasta înseamnă că putem folosi ecuația pentru volum: V=13base×height. Baza conului este un cerc, așadar volumul unui con de rază r și înălțime h este

V=

Observă asemănarea cu ecuația de calcul a volumului unui cilindru. Imaginază-ți că desenezi în jurul conului un cilindru care are aceeași bază și aceeași înăltime – acesta se numește cilindru circumscris. Acum, conul va ocupa exact din volumul cilindrului:

Atenție: Ai putea crede că aproximarea printr-o infinitate de fețe minuscule este un pic “imprecisă”. Matematicienii au căutat mult timp o metodă mai simplă pentru a calcula volumul unui con.. În 1900, marele matematician David Hilbert chiar a numit această problemă drept una din cele 23 de probleme importante din matematică rămase nerezolvate! Astăzi știm că de fapt este imposibil.

Asemenea unui cilindru, un con nu trebuie sa fie “drept”. Daca vertexul se află exact deasupra centrului bazei, avem un con drept. Altfel, îl numim con oblic.

Putem folosi din nou principiul lui Cavalieri pentru a demonstra că toate conurile oblice au același volum, atâta timp cât baza și înălțimea sunt aceleași.

Aria unui Con

Calcularea ariei unui con este un pic mai complicată. La fel ca mai înainte, putem desfășura pânza conului. Mută glisorul pentru a vedea ce se întâmplă: în acest caz, se obține un cerc și un .

Acum trebuie doar să adunăm aria ambelor componente. Baza este un cerc de rază r, așadar aria sa este

ABase= .

Raza sectorului circular este egală cu distanța de la muchia conului
până la vertex. Aceasta se numește înălțimea înclinată s a conului, care nu este aceeași cu înălțimea h normală. Putem afla înălțimea înclinată folosind teorema lui Pitagora:

s2=
s=

Lungimea arcului sectorului circular este egală cu bazei: 2πr. Acum putem calcula aria sectorului circular folosind formula obținută într-un capitol anterior:

ASector=ACircle×arccircumference
=

La final, trebuie doar să mai adunăm aria bazei și aria sectorului pentru a obține aria totală a conului:

A=

Sfera

O sferă este un corp geometric tridimensional format din toate punctele situate la aceeași distanță față de un centru C dat. Această distanță se numește raza r a sferei.

Ne putem gândi la o sferă ca la un “cerc tridimensional”. Asemenea unui cerc, o sferă are un diametru d, care are lungimea raza cercului, precum și corzi și secante.

într-unul din capitolele precedente, ai aflat cum matematicianul grec Eratostene a calculat raza Pământului folosind umbra unui stâlp - era 6.371km. Acum hai să încercăm să aflăm volumul și aria totală a Pământului.

Volumul unei sfere

Pentru a afla volumul unei sfere, va trebui sa folosim din nou Principiul lui Cavalieri. Hai să începem cu o semisferă - o sferă pe jumătate de-a lungul ecuatorului. Avem nevoie și de un cilindru care are aceeași rază și aceeași înălțime ca și semisfera, dar cu un con inversat „decupat” la mijloc.

Pe măsură ce muți glisorul de deasupra, se poate vedea secțiunea transversală a ambelor forme la o înălțime specifică deasupra bazei:

Să încercăm să aflăm aria secțiunii transversale a ambelor solide la o distanță de înălțime h deasupra bazei.

Secțiunea transversală a semisferei este întotdeauna un .

Raza x a secțiunii transversale este o porțiune dintr-un triunghi dreptunghic, așa că putem folosi teorema lui Pitagora:

r2=h2+x2.

Acum, aria secțiunii transversale este

A=

Secțiunea transversală a cilindrului decupat este întotdeauna un .

Raza cavității este h. Putem calcula aria inelului scăzănd aria cavității din aria cercului mai mare:

A=πr2πh2
=πr2h2

Se pare că pentru ambele corpuri geometrice aria secțiunii trannsversale este aceeași la fiecare nivel. Conform principiului lui Cavalieri, ambele corpuri geometrice trebuie să aibă și același ! Putem afla volumul semisferei scăzând volumul cilindrului și volumul conului:

VSemisferă=VCilindruVCon
=

O sferă este formată din semisfere, iar asta înseamnă că volumul ei este

V=43πr3.

Pământul este (aproximativ) o sferă de rază 6.371 km. Așadar volumul său este

V=
=1 km3

Densitatea medie a Pământului este de 5510kg/m3. Aceasta înseamnă că are o masă totală de

Masă=Volum×Densitate6×1024kg

Acesta este un 6 urmat de 24 de zerouri!

Dacă vei compara ecuațiile pentru volumul cilindrului, al conului și al sferei, vei observa una dintre cele mai satisfăcătoare relații din geometrie. Imaginează-ți că avem un cilindru cu aceeași înălțime ca diametrul bazei sale. Acum putem încadra perfect atât un con cât și o sferă în interiorul său:

+

Acest con are raza r și înălțimea 2r. Volumul său este

=

Această sferă are raza r. Volumul său este

Acest cilindru are raza r și înălțimea 2r. Volumul său este

Observă cum, dacă volumul conului și al sferei, obținem exact volumul cilindrului!

Aria Sferei

Este foarte dificil să găsim formula de calcul pentru aria unei sfere. Unul din motive este faptul că nu putem deschide și “aplatiza” suprafața unei sfere la fel cum am făcut anterior la conuri și cilindri.

Aceasta este o problemă aparte când se încearcă să se construiască o hartă. Pământul are o suprafață curbată, tridimensională, dar orice hartă tipărită trebuie să fie plată și bidimensională. Aceasta înseamnă că geografii trebuie să trișeze: prin întinderea sau turtirea anumitor zone.

Aici se pot vedea diferite tipuri de hărți, numite proiecții. Încearcă să muți pătratul roșu și privește cum arată de fapt această zona pe un glob:

Mercator
Cilindrică
Robinson
Mollweide

În timp ce muți pătratul pe hartă, observă cum se schimbă dimensiunea și forma actual pe un glob tridimensional.

Pentru a afla aria unei sfere putem face din nou o aproximare folosind o formă diferită - de exemplu, un poliedru cu o mulțime de fețe. Pe măsură ce numarul fețelor crește, poliedrul începe să semene din ce în ce mai mult cu o sferă.

ÎN CURÂND: Demonstrația pentru calcularea ariei sferei