Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Cercuri și PiTangente, Corzi și Arce

Timp de citit: ~25 min

În secțiunile anterioare, ai aflat numele diferitelor părți ale unui cerc - cum ar fi centrul, raza, diametrul și circumferința. Cu toate acestea, există multe elemente geometrice legate de cerc de care vom avea nevoie pentru a rezolva probleme mai complexe:

  • O secantă este o dreaptă care intersectează un cerc în două puncte
  • O coardă este un segment de dreaptă care unește două puncte care se află pe circumferința unui cerc.
  • O tangentă este o dreaptă care atinge un cerc într-un singur punct. Acesta se numește punct de tangență.
  • Un arc de cerc este o porțiune din circumferința unui cerc.
  • Un sector circular este o porțiune din interiorul unui cerc, mărginită de un arc de cerc și două raze.
  • În cele din urmă, un segment circular este o porțiune din interiorul unui cerc, mărginită de un arc de cerc și o coardă.

În acest capitol vom analiza legătura dintre toate aceste elemente și vom studia teoreme despre proprietățile lor. Nu îți face griji pentru memorarea tuturor definițiilor deocamdata - poți utiliza întotdeauna glosarul.

Tangente

îN CURÂND!

Corzi

îN CURÂND!

Arce și Sectoare Circulare

Majoritatea oamenilor de știință din Grecia Antică credeau că Pământul este o sferă. Existau o mulțime de dovezi: de la navele care dispăreau pe mare după linia orizontului până la mișcarea circulară a stelelor pe timpul nopții.

Din păcate, nimeni nu știa cu exactitate cât de mare era Pământul – până în jurul anului 200 î.Hr., când matematicianul Eratostene a descoperit o metodă ingenioasă pentru a măsura raza Pământului folosind geometria de bază. Avem nevoie doar de câteva informații în plus despre arcurile și sectoarele unui cerc.

După cum se poate vedea în diagramă, un arc de cerc este o porțiune din unui cerc și un sector circular este o porțiune din unui cerc.

Arcul de cerc dintre două puncte A și B este adesea scris AB. Această definiție este ușor ambiguă: există un al doilea arc de cerc care unește A și B, dar merge în sens invers.

Cel mai mic dintre cele două arce se numește arcul mic, iar cel mai mare se numește arcul mare. Dacă punctele A și B sunt perfect opuse unul față de altul, ambele arce au aceeași lungime și sunt .

Pentru a afla lungimea unui arc de cerc sau aria unui sector circular avem nevoie să cunoaștem unghiul corespunzător din centrul cercului: acesta se numește unghi la centru.

Observă cum arcul, sectorul și unghiul la centru ocupă toate aceeași proporție dintr-un cerc dat. De exemplu, dacă unghiul la centru este 90°, el ocupă dintr-un cerc complet.

Asta înseamnă că lungimea arcului este și ea 14 din circumferința totală și aria sectorului este 14 din aria totală.

Putem exprima această relație sub forma unei ecuații:

lungime arccircumferință=arie cerc=unghi la centru

Acum putem reordona aceste ecuații pentru a afla orice variabilă ce ne interesează. De exemplu,

lungime arc=circumferință×c360
=2πr×c360
arie sector=arie cerc×c360
=πr2×c360

unde r este raza cercului și c este măsura unghiului la centru.

Dacă unghiul la centru se măsoară mai degrabă în radiani decât în grade, putem folosi aceeași ecuație, dar trebuie să înlocuim 360° cu :

lungime arc=2πr×c2π
=r×c
arie sector=πr2×c2π
=12r2c

Observă cum ecuațiile devin mult mai simple și π se simplifică peste tot. Asta pentru că, dupa cum probabil că îți amintești, definiția radianului este practic lungimea unui arc dintr-un cerc de rază 1.

Acum hai să vedem cum putem folosi arcele și sectoarele pentru a calcula circumferința Pământului.

În Egiptul Antic, orașul Swenet era poziționat de-a lungul râului Nil. Swenet era faimos pentru o fântână care avea o proprietate ciudată: în fiecare an exista un moment în care lumina solara atingea fundul puțului - pe 21 iunie la prânz, ziua solstițiului de vară.

În acel moment exact, fundul puțului era iluminat, dar nu și lateralele sale, ceea ce înseamna că Soarele se afla direct deasupra fântânii.

Pentru a măsura distanțele lungi, vechii egipteni numărau pașii necesari parcurgerii lor.

Unele surse menționează că “Fântâna lui Eratostene” se afla pe insula Elefantina de pe râul Nil.

Matematicianul Eratostene trăia în Alexandria, la aproximativ 800 km nord de Swenet, unde era directorul Marii Biblioteci. În centrul orașului Alexandria se afla un obelisc, un monument înalt și îngust cu vârful în formă de piramidă.

Eratostene a observat că în ziua solstițiului de vară obeliscul produce o umbră la prânz - asta însemna că Soarele nu se afla perfect deasupra lui. El a concluzionat că asta se îmtâmpla datorită curburii Pământului și și-a dat seama ca o poate folosi pentru a calcula circumferința planetei noastre.

Aici se poate vedea fântâna din Swenet precum și obeliscul din Alexandria. Razele soarelui cad direct în interiorul fântânii, dar lovesc obeliscul într-un unghi și se produce o umbră.

Eratostene a făcut măsurători și a aflat că unghiul umbrei era de 7.2°. Această valoare este la fel ca măsura unghiului la centru al arcului dintre Alexandria și Swenet pentru că sunt unghiuri .

Acum putem folosi ecuația pentru lungimea arcului pe care am extras-o mai jos:

lungime arccircumferință=°360°

Prin rearanjare, reiese că circumferința Pământului este

circumferința=360°7.2°×800 km=km

În cele din urmă, știm că circumferința unui cerc este C=2πr, astfel că În cele din urmă, știm că circumferința unui cerc este C=2πr, astfel că raza Pământului este

rPământ=40000km2π6400km.

Măsurătoarea lui Eratostene a fost unul din cele mai importante experimente din antichitate. Estimarea lui pentru dimensiunea Pământului a fost surprinzător de precisă, în special având în vedere că el avea acces doar la instrumente de măsurare foarte de bază.

Bineînțeles că poate fi dificil să convertim rezultatele sale inițiale în unități moderne precum kilometri. În Grecia Antică, distanțele se măsurau în stadia (aproximativ 160m), dar nu exista un standard universal. Fiecare zonă avea o versiune ușor diferită și nu se cunoaște care a fost cea folosită de Eratostene.

În următoarele secole oamenii de știință au încercat să folosească alte metode pentru a calcula raza Pământului - uneori obținând rezultate incorecte și foarte diferite.

Una dintre aceste măsuratori incorecte l-a determinat pe Cristofor Columb să navigheze la vest de Portugalia. El a presupus că Pământul era mult mai mic decât în realitate și a sperat să ajungă în India. De fapt, el a ajuns pe un continent diferit care se afla între: America.

Segmente

În curând!