Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Poligoane și PoliedrePoligoane

Timp de citit: ~30 min

Un poligon este o formă plană închisă care are doar laturi drepte. Poligoanele pot avea orice număr de laturi și unghiuri, dar laturile nu pot fi curbe. Care din formele de mai jos sunt poligoane?

polygon-1
polygon-2
polygon-3
polygon-4
polygon-5
polygon-5_1

Poligoanele au diferite denumiri în funcție de câte laturi au:

number-3

Triunghi
3 laturi

number-4

Patrulater
4 laturi

number-5

Pentagon
5 laturi

number-6

Hexagon
6 laturi

number-7

Heptagon
7 laturi

number-8

Octogon
8 laturi

Unghiuri în Poligoane

Orice poligon cu n laturi are și n unghiuri interne. Știm deja că suma unghiurilor interne ale unui triunghi este mereu °, dar care este aceasta în cazul altor poligoane?

${a1[0]}° + ${a1[1]}° + ${a1[2]}° + ${360-a1[0]-a1[1]-a1[2]}°  = 

${a2[0]}° + ${a2[1]}° + ${a2[2]}° + ${a2[3]}° + ${540-a2[0]-a2[1]-a2[2]-a2[3]}°  = 

Se pare că un patrulater are suma unghiurilor interne este mereu ° – exact suma unghiurilor unui triunghi. Nu este o coincidență: fiecare patrulater poate fi împărțit în două triunghiuri.

triangles-4
triangles-1
triangles-2
triangles-3

La fel se întâmplă și în cazul poligoanelor mai mari. Putem împărți un pentagon în triunghiuri, deci suma unghiurilor interne este 3×180°= °. Și putem împărți un hexagon în triunghiuri, deci suma unghiurilor interne este4×180°= °.

Un poligon cu ${x} laturi va avea suma unghiurilor interne egală cu 180° × ${x-2} = ${(x-2)*180}°. Mai general, un poligon cu n laturi poate fi împărțit în triunghiuri. Prin urmare,

Îmtr-un n-gon suma unghiurilor interne este =n2×180°.

Poligoane Convexe și Concave

Spunem că un poligon este concav dacă are o porțiune “orientată spre interior”. Ne putem imagina că această porțiune a fost “scobită”. Poligoanele care nu sunt concave se numesc convexe.

Poligoanele concave pot fi identificare în două moduri: ele au cel puțin un unghi intern mai mare ca 180°. De asemenea, ele au și cel puțin o diagonală ce se află în afara poligonului.

Pe de altă parte, în poligoanele convexe, toate unghiurile interne sunt mai mici ca ° și toate diagonalele se află poligonului.

Care dintre aceste poligoane sunt concave?

concave-1
concave-2
concave-3
concave-4
concave-5
concave-6

Poligoane regulate

Spunem că un poligon este regulat dacă toate laturile sale au aceeași lungime și toate unghiurile au aceeași măsură. Care dintre aceste forme sunt poligoane regulate?

regular-1
regular-2
regular-3
regular-4
regular-5
regular-6

Poligoanele regulate pot fi de diferite dimensiuni – dar toate poligoanele regulate care au același număr de laturi !

Știm deja care este suma tuturor unghiurilor interne în poligoane. În cazul poligoanelor regulate toate aceste unghiuri , deci putem calcula măsura unui singur unghi intern:

unghi = = 180°×x2x=180°360°x.

Dacă n=3 obținem măsura unghiurilor interne ale unui triunghi echilateral – știm deja că are valoarea °. Într-un poligon regulat cu ${x} laturi, fiecare unghi intern este de 180° – 360°${x} = ${round(180-360/x)}°.

Aria poligoanelor regulate

Aici se poate vedea un poligon regulat cu ${n} laturi. Fiecare latură are lungimea de 1m. Hai să incercăm sa-i calculăm aria!

Mai întâi, putem împărți poligonul în ${n} triunghiuri congruente.

Știm deja acestor triunghiuri, dar avem nevoie și de pentru a le putea calcula aria. În cazul poligoanelor regulate, această înălțime este numită și apotemă.

Să observăm că există un triunghi dreptunghic format de apotemă și jumătate din baza|înălțimea|aria triunghiului isoscel. Aceasta înseamnă că putem folosi elemente de trigonometrie!

Unghiurile de la baza triunghiului isoscel (hai să le notăm α) sunt măsura unghiului intern al poligonului:

α=12180°360°${n}=${round(90-180/n,2)}

Pentru a determina apotema, putem folosi definiția :

tanα=olatura opusălatura alăturată=

apothem=12s×tanα=${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}m

Acum, aria triunghiului isoscel este

12baza×înălțimea=121m×${round(tan(pi/2-pi/n)/2,2)}=${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2

Poligonul constă din ${n} astfel de triunghiuri isoscele, care au toate aceeași arie. Prin urmare, aria totală a poligonului este

A=${n}×${round(tan(pi/2-pi/n)/4,2)}=${round(n×tan(pi/2-pi/n)/4,2)}m2