Poligoane și PoliedreMozaicări
Fagure de miere
Pielea șarpelui de lapte Sinaloan
Structura celulară a frunzelor
Coloane de bazalt de la Giant’s Causeway din Irlanda de Nord
Coajă de ananas
Carapacea unei țestoase
Oamenii au copiat multe din aceste șabloane naturale în artă, arhitectură și tehnologie – din Roma Antică până în prezent. Iată câteva exemple:
Model de pavaj
Seră din Proiectul Eden în Anglia
Mozaic de la Alhambra
Acoperiș
Pavilion cu mozaicări celulalre în Sydney
Studiul diviziunii regulate a planului cu reptile, M. C. Escher
Aici îți poți crea propriile mozaicări folosind poligoane regulate. Trage forme noi de pe bara alăturată pe pânza de lucru. Ce forme se mozaichează bine ? Există forme care nu se mozaichează deloc ? Încearcă să creezi modele interesante!
Exemple de mozaicări realizate de alți studenți



Mozaicări din poligoane regulate
Poate ai observat că unele
Aceasta are legătura cu măsura
Triunghiurile
Squares
Pentagons
Hexagoanele
În mod similar se poate verifica faptul că, asemeni pentagoanelor, orice poligon regulat cu 7 sau mai multe laturi nu se mozaichează. Aceasta înseamnă că singurele poligoane regulate care se mozaichează sunt triunghiurile, pătratele și hexagoanele!
Desigur că ai putea combina diferite tipuri de poligoane regulate într-o mozaicare, cu condiția ca unghiurile lor interne să însumeze 360°:
Pătrate și triunghiuri
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°
Pătrate și triunghiuri
90° + 90° + 60° + 60° + 60° = 360°
Hexagoane și triunghiuri
120° + 120° + 60° + 60° = 360°
Hexagoane și triunghiuri
120° + 60° + 60° + 60° + 60° = 360°
Hexagoane, pătrate și triunghiuri
120° + 90° + 90° + 60° = 360°
Octogoane și pătrate
135° + 135° + 90° = 360°
Dodecagoane (12-gaone) și triunghiuri
150° + 150° + 60° = 360°
Dodecagoane, hexagoane și pătrate
150° + 120° + 90° = 360°
Mozaicări din poligoane neregulate
Putem încerca să realizăm mozaicări și din
Se pare că putem mozaica nu doar triunghiuri echilaterale, ci orice triunghi! Încearcă să muți vârfurile din această diagramă.
Într-un triunghi suma unghiurilor interne este
Și mai surprinzător, și orice patrulater se poate mozaica! Suma unghiurilor interne este de
Pentagoanele sunt un pic mai complicate. Am văzut deja că pentagoanele regulate
Avem aici trei exemple diferite de mozaicări cu pentagoane. Ele nu sunt regulate, dar sunt poligoane cu 5 laturi perfect valide.
Până acum, matematicienii au găsit doar 15 tipuri diferite de mozaicări cu pentagoane (convexe) – cea mai recentă a fost descoperită în 2015. Nimeni nu știe dacă mai există și altele sau dacă cele 15 sunt singurele…
Mozaicări în Artă
Mozaicările sunt și un instrument, și inspirație pentru mulți artiști, arhitecți și designeri – cel mai faimos este artistul olandez
“Cer și Apăr I” (1938)
“Șopârlă” (1942)
“Șopârlă, Pește, Liliac” (1952)
“Fluture” (1948)
“Doi Pești” (1942)
“Scoici și Stele de Mare” (1941)
Aceste opere de artă arată adesea distractive și lipsite de efort, dar principiile matematice care stau la bază sunt aceleași ca mai înainte: unghiuri, rotații, translații și poligoane. Dacă calculele matematice nu sunt corecte, mozaicarea nu se va putea realiza!
“Metamorfoză II” by M. C. Escher (1940)
Plăcile Penrose
Toate mozaicările pe care le-am văzut până acum au ceva în comun: ele sunt periodice. Asta înseamnă că ele constau dintr-un model regulat care se repetă iar și iar. Ele se pot repeta la nesfârșit în toatele direcțiile și vor arăta la fel peste tot.
În anul 1970, matematicianul și fizicianul britanic
Mută glisorul pentru a dezvălui structura de bază a acestei mozaicări. Observă cum ai aceleași modele la diverse: pentagoanele mici și galbene, stelele albastre, romburile portocalii și ‘navele’ verzi apar la dimensiunea lor inițială, într-o măsură puțin mai mare și într-o măsură și mai mare. ăceastă auto-asemănare poate fi folosită pentru a demonstra că această placă Penrose este neperiodică.
Penrose a explorat mozaicările doar din amuzament, dar se pare că structura internă a unor materiale reale (precum aluminiul) au un șablon similar. Șablonul a fost utilizat chiar și pe hârtie igienică, deoarece producătorii au observat că un model neperiodic poate fi rulat fără nicio proeminență.