Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Poligoane și PoliedrePatrulatere

Timp de citit: ~40 min

În cursul precedent am investigat multe proprietăți diferite ale triunghiurilor. Acum, hai să aruncăm o privire asupra patrulaterelor.

Un patrulater regulat se numește . Toate laturile sale au aceeași lungime și toate unghiurile sale sunt egale.

Un pătrat este un patrulater cu patru laturi egale și patru unghiuri egale.

Pentru patrulatere un pic “mai puțin regulate” avem două opțiuni. Dacă vrem ca doar unghiurile să fie egale, obținem un dreptunghi. Dacă vrem ca laturile să fie egale, obținem un romb.

Un dreptunghi este un patrulater cu patru unghiuri egale.

Un romb este un patrulater cu patru laturi egale.

Mai există câteva patrulatere care sunt și mai puțin regulate, dar care tot au anumite proprietăți importante:

Dacă ambele perechi de laturi opuse sunt paralele, obținem un paralelogram.

Dacă două perechi de laturi alăturate au aceeași lungime, obținem un patrulater zmeu.

Dacă cel puțin o pereche de laturi opuse este paralelă, obținem un trapez.

Patrulaterele se pot încadra în mai multe dintre aceste categorii. Putem vizualiza ierarhia diferitelor tipuri de patrulatere sub forma unei diagrame Venn:

De exemplu, orice dreptunghi este și un și orice este și un patrulater zmeu. Un romb este un pătrat și un dreptunghi este un trapez.

Pentru a evita orice ambiguitate, vom folosi în general doar tipul cel mai specific.

Acum alege patru puncte, oriunde în caseta gri din stânga. Le putem uni pe toate pentru a forma un patrulater.

Hai să aflăm mijlocul fiecărei din cele patru laturi. Dacă vom conecta mijloacele, obținem .

Încearcă să miști vârfurile patrulaterului exterior și observă ce se întâmplă cu patrulaterul mai mic. Pare ca nu este pur și simplu un patrulater oarecare, ci este mereu un !

Dar de ce se întâmplă așa? De ce rezultatul oricărui patrulater devine mereu un paralelogram? Pentru a explica aceasta, avem nevoie să desenăm una din diagonalele patrulaterului inițial.

Diagonalele împart patrulaterul în două triunghiuri. Și acum se poate vedea că două din laturile patrulaterului interior sunt de fapt acestor triunghiuri.

În cursul anterior am arătat că într-un triunghi liniile mijlocii sunt mereu paralele cu baza. În acest caz, înseamnă că ambele laturi sunt paralele cu diagonala – așadar ele sunt și .

Putem proceda la fel și cu a doua diagonală a patrulaterului, pentru a arăta că ambele perechi de
laturi opuse sunt paralele. Și asta e tot de ce avem nevoie pentru a demonstra că patrulaterul interior este un paralelogram.

Paralelograme

Se pare că paralelogramele au multe alte proprietăți interesante, altele decât paralelismul laturilor opuse. Care din următoarele șase enunțuri sunt adevărate?

Laturile opuse sunt congruente.
Unghiurile interne sunt întotdeauna mai mici ca 90°.
Diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor interne.
Unghiurile opuse sunt congruente.
Ambele diagonale sunt congruente.
Laturile alăturate au aceeași lungime.
Cele două diagonale se împart în două la mijloc.

Bineînțeles că simpla “observare” a acestor proprietăți nu este suficientă. Pentru a ne asigura că ele sunt mereu adevărate, avem nevoie să le demonstrăm:

Laturi și unghiuri opuse

Hai să incercăm să demonstrăm că într-un paralelogram laturile și unghiurile opuse sunt mereu congruente.

Începem prin a desena una din diagonalele paralelogramului.

Diagonala crează patru unghiuri noi cu laturile paralelogramului. Cele două unghiuri roșii și cele două unghiuri albastre sunt unghiuri alterne, deci sunt .

Dacă ne uităm la cele două triunghiuri create de diagonală, vom observa că ele au două unghiuri congruente și o latură congruentă. Conform criteriului de congruență , cele două triunghiuri sunt congruente.

Aceasta înseamnă că și celelalte elemente corespondente ale triunghiurilor vor fi congruente: în mod deosebit, ambele perechi de laturi opuse sunt congruente și ambele perechi de unghiuri opuse sunt congruente.

Și reciproca este adevărată: dacă ambele perechi de laturi (sau unghiuri) opuse ale unui patrulater sunt congruente, atunci patrulaterul este un paralelogram.

Diagonale

Să demonstrăm acum că într-un paralelogram cele două diagonale se împart pe jumătate una pe alta.

Să ne gândim la cele două triunghiuri galbene generate de diagonale:

  • Tocmai am demonstrat că cele două laturi verzi sunt congruente, pentru că ele sunt laturile opuse ale unui paralelogram.
  • Cele două unghiuri roșii și cele două unghiuri albastre
    sunt congruente, pentru că sunt .

Conform criteriului de congruență , ambele triunghiuri galbene sunt, de asemenea, congruente.

Având în vedere că părțile corespondente ale triunghiurilor congruente sunt la rândul lor congruente, putem concluziona că AM = CM and BM = DM. Cu alte cuvinte, cele două diagonale se intersectează la mijloc.

La fel ca mai înainte, și reciproca este adevărată: dacă cele două diagonale ale unui patrulater se împart în două părți egale una pe alta, atunci patrulaterul este un paralelogram.

Patrulatere zmeu

Am arătat că într-un paralelogram două perechi de laturi sunt congruente. Într-un patrulater zmeu, două perechi de laturi alăturate sunt congruente.

În mod evident, numele patrulater zmeu vine de la forma sa: arată ca un zmeu pe care îl poți înălța în aer. Cu toate acestea, din toate patrulaterele speciale pe care le-am văzut până acum, patrulaterul zmeu este singurul care poate fi și concav: dacă are formă de suliță sau săgeată:

Un patrulater zmeu convex

Un patrulater zmeu concav care seamnănă cu o săgeată

Poate că ai observat că toate patrulaterele zmeu sunt . Axa de simetrie este .

Diagonala împarte patrulaterul zmeu în două triunghiuri congruente. Conform criteriul de congruență SSS știm că sunt congruente: ambele triunghiuri au trei laturi congruente (roșu, verde și albastru).

Conform PCTC, știm că unghiurile corespondente sunt congruente.

Aceasta înseamnă, de exemplu, că diagonala este celor două unghiuri aflate la capetele sale.

Putem merge chiar și mai departe: dacă desenăm cealaltă diagonală, obținem încă două triunghiuri mai mici. Conform criteriului de congruență LUL și ele sunt congruente: au aceleași două laturi și unghi inclus.

Asta înseamnă că unghiul α are aceeași măsură ca unghiul β. Cum ele sunt unghiuri suplementare alăturate, atunci α și β vor avea °.

Altfel spus, diagonalele patrulaterului zmeu sunt întodeauna .

Aria patrulaterelor

Pentru a calcula aria unui triunghi în cursul precedent, am folosit trucul de a-l transforma într-un . Putem face asta și pentru unele patrulatere:

Paralelogram

Încearcă să desenezi la stânga un dreptunghi care are aceeași arie ca paralelogramul.

Poți vedea că triunghiul lipsă din stânga este ca triunghiul suprapus din dreapta? Așadar, aria paralelogramului este

Aria = baza × înălțimea

Ai grijă când măsori înălțimea unui paralelogram: de obicei, nu este identică cu una din cele două laturi.

Trapez

Să ne reamintim că trapezul este un patrulater care o pereche de laturi paralele. Aceste laturi paralele se numesc bazele trapezului.

La fel ca mai înainte, încearcă sa desenezi un dreptunghi care să aibă aceeași arie ca acest trapez. Poți observa cum triunghiul lipsă și triunghiul adăugat din partea stângă și din cea dreaptă se anulează?

Înălțimea acestui dreptunghi este laturile paralele ale trapezului.

Lungimea dreptunghiului este distanța dintre celor două laturi neparalele. Aceasta se numește linia mijlocie a trapezului.

Ca și în cazul triunghiurilor, linia mijlocie a unui trapez este cele două baze ale sale. Lungimea liniei mijlocii este media lungimilor bazelor: a+c2.

Combinând toate acestea, obținem ecuația ariei unui trapez cu laturile paralele a și c și înălțimea h:

A=h×a+c2

Patrulater zmeu

În acest patrulater zmeu, cele două diagonale constituie lungimea și înățimea unui mare dreptunghi care înconjoară zmeul.

Aria acestui dreptunghi este aria patrulaterului zmeu. Poți observa cum cele patru triunghiuri care constituie patrulaterul zmeu sunt identice cu cele patru goluri din afara lui?

Asta înseamnă că aria unui patrulater zmeu cu diagonalele d1 și d2 este

Aria = 12 d1 × d2.

Romb

Un romb este un patrulater cu patru laturi congruente. Poate că îți amintești că orice romb este un – și totodată și un .

Așadar, pentru a afla aria unui romb, putem folosi fie ecuația pentru aria unui paralelogram, fie ecuația pentru aria unui patrulater zmeu:

Aria = base × height = 12 d1 × d2.

În diferite contexte, se pot da diferite elemente ale unui romb (laturi, înalțime, diagonale) și ar trebui să alegi oricare ecuație ce se potrivește mai bine.