Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Poligoane și PoliedreCorpurile lui Platon

Timp de citit: ~35 min

La începutul acestui curs am definit poligoanele regulate ca fiind poligoane deosebit de “simetrice”, în care toate laturile și unghiurile sunt la fel. Putem face ceva asemănător și in cazul poliedrelor.

Într-un poligon regulat toate fețele sunt același tip de poligon regulat și în fiecare vârf se întâlnesc același număr de fețe. Poliedrele care au aceste două proprietăți se numesc corpuri platonice, numite după folosoful grec Platon.

Așadar cum arată corpurile platonice – și câte sunt? Pentru a construi o formă tridimensională avem nevoie de cel puțin fețe care să se întâlnească în fiecare vârf. Să începem sistematic cu cel mai mic poligon regulat: triunghiuri echilaterale:

Dacă vom crea un poliedru în care în fiecare vârf se întâlnesc trei triunghiuri echilaterale, vom obține forma din stânga. Aceasta se numește tetraedru și are fețe. (“Tetra” înseamnă “patru” în limba greacă).

Dacă în fiecare vârf se întâlnesc patru triunghiuri echilaterale, obținem un corp platonic diferit. Acesta se numește octaedru și are fețe. (“Octa” înseamnă “opt” în limba greacă. Așa cum “octogon” înseamnă formă cu 8 laturi, “octaedru” înseamnă corp geometric cu 8 fețe.)

Dacă în fiecare vârf se întâlnesc triunghiuri, obținem un icosaedru. El are fețe. (“Icosa” înseamnă “douăzeci” în limba greacă.)

Dacă în fiecare vârf se întâlnesc triunghiuri, se întâmplă ceva diferit: obținem , în locul unui poliedru tridimensional.

Nici șapte sau mai multe triunghiuri care se întâlnesc în fiecare vârf nu determină poliedre noi: nu există suficient spațiu în jurul unui vârf pentru atât de multe triunghiuri.

Asta înseamnă că am găsit corpuri platonice formate din triunghiuri. Să trecem mai departe la urmatorul poligon regulat: pătratele.

Dacă în fiecare vârf se întâlnesc pătrate, obținem un cub. Asemenea unui zar, el are fețe. Cubul mai este numit uneori și Hexaedru, de la cuvântul grec “hexa" care înseamnă “șase”.

Dacă în fiecare vârf se întâlnesc pătrate, obținem . La fel ca mai înainte, cinci sau mai multe pătrate nu determină poliedre noi.

În continuare, să încercăm cu pentagoane regulate:

Dacă în fiecare vârf se întâlnesc pentagoane, obținem un dodecaedru. Acesta are fețe. (“Dodeca” înseamnă “doisprezece” în limba greacă.)

Ca mai înainte, patru sau mai multe pentagoane [[nu determină|determină] poliedre noi pentru că nu există suficient spațiu.

Următoarele poligoane sunt hexagoanele:

Dacă în fiecare vârf se întâlnesc trei hexagoane, obținem . Având în vedere că nu există spațiu pentru mai mult de trei, se pare că nu există corpuri platonice alcătuite din hexagoane.

La fel se întâmplă cu toate poligoanele regulate ce au mai mult de șase laturi. Ele nu se mozaichează și cu siguranța că nu obținem niciun poligon tridimensional.

Asta înseamnă că există doar corpuri platonice! Hai să ne uităm la toate la un loc:

Tetraedru

Fețe
Vârfuri
Muchii

Cub

Fețe
Vârfuri
Muchii

Octaedru

Fețe
Vârfuri
Muchii

Dodecaedru

Fețe
20 Vârfuri
30 Muchii

Icosaedru

Fețe
12 Vârfuri
30 Muchii

De observat cum numărul de fețe si vârfuri la cub și octaedru, precum și la dodecaedru și icosaedru, în timp ce numărul muchiilor . Aceste perechi de corpuri Platonice se numesc corpuri duale.

Putem transforma un poliedru în varianta sa duală “înlocuind” fiecare față cu un vârf, și fiecare vârf cu o față. Aceste animație arată cum:

Tetraedrul este dual cu el însuși. Având în vedere că are același număr de fețe și vârfuri, înlocuirea lor nu ar aduce nicio schimbare.

Platon credea că toată materia din Univers este alcătuită din patru elemente: Aer, Pământ, Apă și Foc. El credea că fiecărui element îi corespunde un corp platonic, în timp ce al cincilea ar reprezenta universul ca un întreg. Astăzi știm că există peste 100 de elemente diferite ce sunt alcătuite din atomi sferici, nu din poliedre.

Imagini din cartea lui Johannes Kepler “Harmonices Mundi” (1619)

Corpurile lui Arhimede

Corpurile platonice sunt poliedre importante în mod deosebit, dar există nenumărate altele.

De exemplu, corpurile lui Arhimede tot trebuie să fie alcătuite din poligoane regulate, dar se pot folosi mai multe tipuri diferite. Numele lor e dat după un alt matematician grec, Arhimede din Siracuza, și există 13 astfel de corpuri geometrice:

Tetraedru trunchiat
8 faces, 12 vertices, 18 edges

Cuboctaedru
14 faces, 12 vertices, 24 edges

Cub trunchiat
14 faces, 24 vertices, 36 edges

Octaedru trunchiat
14 faces, 24 vertices, 36 edges

Rombocuboctaedru
26 faces, 24 vertices, 48 edges

Cuboctaedru trunchiat
26 faces, 48 vertices, 72 edges

Cubus simus
38 faces, 24 vertices, 60 edges

Icosidodecaedru
32 faces, 30 vertices, 60 edges

Dodecaedru trunchiat
32 faces, 60 vertices, 90 edges

Icosaedru trunchiat
32 faces, 60 vertices, 90 edges

Rhombicosidodecaedru
62 faces, 60 vertices, 120 edges

Icosidodecaedru trunchiat
62 faces, 120 vertices, 180 edges

Dodecahedron simum
92 faces, 60 vertices, 150 edges

Aplicații

Platon s-a înșelat crezând că toate elementele sunt alcătuite din corpuri platonice. Dar poliedrele regulate au multe proprietăți speciale care le fac să apară altundeva în natură - și putem copia aceste proprietăți în știință și inginerie.

Schelet de radiolar

Virus icosaedric

Mulți viruși, bacterii și alte organisme mici au formă de icosaedru. Virușii, de exemplu, trebuie să-și cuprindă materialul genetic într-un cadru de multe unități proteice identice. Icosaedrul este cel mai eficient mod de a face asta, pentru ca e format din câteva elemente regulate, dar arată aproape ca o sferă.

Molecula Buckyball

Montreal Biosphere

Multe molecule au formă de poliedre regulate. Cel mai faimos exemplu este C60 care constă din 60 de atomi de carbon aranjați sub forma unui Icosaedru trunchiat.

A fost descoperit în anul 1985 când oamenii de știință cercetau praful interstelar. I-au dat numele “Buckyball” (sau Buckminsterfulerenă) after the architect Buckminster Fuller, famous for constructing similar-looking buildings.

Octaedru de fluorită

Cub de pirită

Majoritatea cristalelor au atomii aranjați într-o grilă regulată alcătuită din tetraedre, cuburi și octaedre. Când se crapă sau se sparg, aceste forme se pot vedea la o scară mai mare.

Cadre spațiale octogonale

Muzeul Louvre din Paris

Tetraedrele și octaedrele sunt incredibil de rigide și stabile, ceea ce le face foarte utile în construcții. Cadrele spațiale sunt structuri poligonale ce pot susține acoperișuri mari și poduri masive.

Football

Polygonal role-playing dice

Corpurile platonice sunt utilizate și la crearea zarurilor. Datorită simetriei lor, fiecare laterală are o probabilitate de a ateriza cu fața în sus – deci zarul este cinstit.

Icosaedrul trunchiat este probabil cel mai faimos poliedru din lume: este forma mingiei de fotbal.

Archie