Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Triunghiuri și TrigonometrieProprietățile triunghiurilor

Timp de citit: ~30 min

Hai să începem simplu: un triunghi este o formă închisă care are trei laturi (care sunt segmente de dreaptă) și trei vârfuri (punctele de intersecție ale laturilor). De asemenea, are și trei unghiuri interne a căror suma este întotdeauna °.

Triunghiurile pot fi clasificate în funcție de măsura unghiurilor lor:

Un triunghi dreptunghic
are un unghi drept.

Un triunghi obtuz
are un unghi obtuz.

Un triunghi ascuțit
are unghiuri ascuțite.

Pentru ușurință, notăm triunghiurile întotdeauna în același mod. Vârfurile se notează cu litere mari A, B și C, laturile se notează cu litere mici a, b și c și unghiurile se notează cu litere grecești α, β și γ (“alpha”, “beta” și “gamma”).

Latura opusă vârfului A este notată cu a, iar unghiul care se află chiar lângă A este notat cu α. Același șablon se aplică și pentru B/b/β și C/c/γ.

Mediane

Aici se poate vedea un triunghi precum și mijlocul celor trei laturi ale sale.

O mediana a unui triunghi este un segment de dreaptă care unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Desenează cele trei mediane ale acestui triunghi. Ce se întâmplă pe măsură ce muți vârfurile triunghiului ?

Se pare că medianele mereu. Acest punct se numește centru de greutate.

Medianele se împart mereu reciproc în raportul 2:1. Pentru fiecare din cele trei mediane, distanța de la vârf până la centrul de greutate este mereu mai mare decât distanța de la centru de greutate până la mijlocul laturii.

Centrul de greutate este și “punctul de echilibru” al unui triunghi. Desenează un triunghi pe carton, decupează-l și găsește cele trei mediane. Dacă ai calculat precis, acum poți ține triunghiul în echilibru pe vârful unui creion sau îl poți agăța perfect drept de o bucată de sfoară care este prinsă de centrul de greutate.

Se întâmplă așa pentru că greutatea unui triunghi este distribuită uniform în jurul centrului său de greutate. În fizică, acest punct se numește adesea centru de masă.

Mediatoare și Cercul Circumscris

Să ne amintim că mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară care trece prin său.

Desenează mediatoarele acestui triunghi. Pentru a desena mediatoarea unei laturi a triunghiului, apasă pe una din extremitățile sale și trage-o până la cealaltă extremitate.

La fel ca mai înainte, cele trei mediatoare se intersectează într-un singur punct. Și, din nou, acest punct are o proprietate specială.

Oricare punct al mediatoarei se află la aceeași distanță față de cele două extremități ale segmentelui pe care îl împarte. De exemplu, oricare punct aflat pe mediatoarea albastră se află la aceeași distanță față de punctele A și C, iar oricare punct de pe mediatoarea roșie se află la aceeași distanță față de .

Punctul de intersecție se afă pe toate cele trei mediatoare, așadar el se află la aceeași distanță față de toate cele trei ale triunghiului.

Aceasta înseamnă ca putem desena un cerc în jurul său care conține toate vârfurile. Acest cerc se numește cercul circumscris al triunghiului, iar centrul său se numește centrul cercului circumscris.

De fapt, aceasta înseamnă că pentru oricare trei puncte, putem folosi centrul cercului circumscris pentru a găsi un cerc care trece prin toate punctele. (Doar dacă punctele sunt , caz în care toate punctele se află situate pe o linie dreaptă.)

Bisectoarea unui unghi și Cercul înscris într-un triunghi

Probabil că deja te-ai obișnuit cu acest proces: alegem o anumită construcție, o executăm de trei ori pentru toate laturile/unghiurile unui triunghi și apoi elaborăm ce este special la punctul lor de intersecție.

Să ne amintim că bisectoarea unui unghi împarte un unghi exact pe mijloc. Desenează bisectoarele celor trei unghiuri din acest triunghi. Pentru a desena bisectoarea unui unghi, trebuie să apeși pe cele trei puncte care formează unghiul pe care vrei să-l împarți în două unghiuri de măsuri egale.

Din nou, toate cele trei drepte se intersectează într-un singur punct. Probabil că te așteptai la asta, dar este important să observăm că nu există un motiv clar de ce se întâmplă așa – triunghiurile sunt pur și simplu niște forme foarte interesante!

Punctele ce aparțin bisectoarei unui unghi se află la aceeași distanță față de cele două drepte care formează unghiul. De exemplu, orice punct de pe bisectoarea albastră se află la aceeași distanță față de latura a și latura c, și orice punct de pe bisectoarea roșie se află la aceeași distantă față de laturile .

Punctul de intersecție se află pe toate cele trei bisectoare. De aceea, el se află la aceeași distanță față de toate cele trei ale triunghiului.

Aceasta înseamnă că putem desena în jurul său un cerc care se află în interiorul triunghiului și este tangent la cele trei laturi. Acest cerc se numește cerc înscris într-un triunghi, iar centrul său se numește centrul cercului înscris.

Arie și Înălțimi

Este ușor să calculăm aria unui dreptunghi: pur și simplu se înmulțește lungimea cu înălțimea. Calcularea ariei unui triunghi este mai puțin evidentă. Să începem prin “capturarea” unui triunghi în interiorul unui dreptunghi.

Lungimea dreptunghiului este lungimea laturii de jos a triunghiului (care se numește bază). Înalțimea dreptunghiului este lungimea perpendicularei de la bază până la vârful opus.

Înălțimea împarte triunghiul în două părți. Observă cum cele două goluri din dreptunghi sunt la fel de mari ca cele două părți ale triunghiului. Asta înseamnă că dreptunghiul este mare ca triunghiul.

Putem calcula ușor aria dreptunghiului, așadar aria triunghiului este jumătate din ea:

A=12× bază × înălțime

Pentru a calcula aria unui triunghi, se poate alege oricare din cele trei laturi ca bază și apoi se poate calcula înălțimea corespunzătoare, care este dreapta pe bază și care trece prin vârful opus.

Orice triunghi are înălțimi.

Asemenea medianelor, mediatoarelor și bisectoarelor, cele trei înalțimi ale unui triunghi se intersectează într-un singur punct. Acest punct se numește ortocentrul triunghiului.

În triunghiurile ascuțite, ortocentrul triunghiului.

În triunghiurile obtuze, ortocentrul triunghiului.

În triunghiurile dreptunghice, ortocentrul triunghiului. Două dintre înălțimile sale sunt de fapt chiar laturile triunghiului.