Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Triunghiuri și TrigonometrieCongruența triunghiurilor

Timp de citit: ~20 min
Această pagină a fost tradusă automat și poate conține erori. Vă rugăm să luați legătura dacă doriți să ne ajutați să revizuim traducerile!

Acum că putem verifica dacă trei laturi pot forma un triunghi, să ne gândim la modul în care am putea construi de fapt un triunghi cu aceste laturi.

Desenează un triunghi cu laturide de 4cm, 5cm și 6cm lungime.

Desenează în caseta alăturată cea mai mare latură a triunghiului, care este 6cm. Acum avem deja două din cele trei vârfuri ale triunghiului – provocarea este de a-l afla pe ultimul.

Apoi, desenează un cerc cu raza de 4cm în jurul unuia dintre vârfuri, și un cerc cu raza de 5cm în jurul celuilalt.

Al treilea vârf al triunghiului este celor două cercuri. Acum le putem conecta pentru a forma un triunghi.

Cercurile se intersectează de fapt : o dată în partea de sus și o dată în partea de jos. Putem alege oricare din aceste puncte de intersecție, iar cele două triunghiuri rezultate sunt .

Criterii de Congruență

Dar este posibil să construim un triunghi diferit cu aceleași trei laturi?

Am văzut deja două triunghiuri mai sus, dar ambele erau congruente. De fapt, oricare două triunghiuri ale căror laturi au aceeași lungime sunt congruente. Numim asta Criteriul de congruență LLL a triunghiurilor (“Latură-Latură-Latură”).

Acum avem două criterii pentru triunghiuri: “UU” înseamnă că două triunghiuri sunt și “LLL” înseamnă că două triunghiuri sunt . Mai există câteva criterii de congruență:

Două triunghiuri sunt congruente dacă îndeplinesc oricare din următoarele criterii:

SSS

Toate laturile sunt respectiv congruente.

SAS

Două laturi și unghiul cuprins între ele sunt respectiv congruente.

ASA

Două unghiuri și latura între ele sunt respectiv congruente.

AAS

Două unghiuri și latura alăturată lor sunt respectiv congruente.

Ne putem gândi la aceste criterii ca la niște “scurtături”: pentru a verifica dacă două triunghiuri sunt congruente, trebuie doar să verificăm unul din criteriile de mai sus:

De îndată ce știi că două triunghiuri sunt congruente, știi că toate laturile și unghiurile lor corespondente sunt congruente.

Este interesant de observat faptul că toate criteriile constau din valori diferite (fie laturi, fie unghiuri)!

Construcția triunghiurilor

La începutul acestui capitol, am văzut cum se construiește un triunghi dacă se cunosc cele trei laturi. În mod similar, există metode de a construi un triunghi pentru fiecare din criteriile de congruență de mai sus.

SAS

ÎN CURÂND – Animație

Desenează un triunghi cu laturile de 5cm și 3cm și unghiul cuprins între ele de 40°.

La fel ca mai înainte, începem prin a desena una dintre laturile triunghiului.

Apoi, folosim un raportor pentru a măsura un unghi de 40° în jurul unuia dintre cele două vârfuri. Hai să marcăm acest unghi cu un punct.

Putem uni vârful cu măsurătoarea noastră pentru a obține a doua latură a triunghiului.

Știm că această latură trebuie să aibă o lungime de 3cm, așa că hai să măsurăm distanța cu o riglă și apoi să marcăm al treilea vârf al triunghiului.

La final, putem uni ultimele două vârfuri pentru a finaliza triunghiul.

Bineînțeles că am fi putut desena mai întâi latura de 3cm sau am fi putut alege celălalt vârf pentru a desena unghiul de 40° în jurul său. Cu toate acestea, triunghiurile obținute ar fi fost congruente cu acesta.

ASA

ÎN CURÂND – Animație

Desenează un triunghi cu unghiurile de 70° și 50° și latura cuprinsă între ele de 5cm.

Hai să începem prin a desena prima latură folosind o riglă pentru a măsura 5cm.

Acum hai să folosim raportorul pentru a măsura un unghi de 70° în jurul unuia din capetele laturii și un unghi de 50° în jurul celuilalt capăt. (nu contează ordinea – triunghiurile obținute vor fi congruente.)

Triunghiul se finalizează prin unirea urmelor unghiurilor cu extremitățile laturii.

UUL

ÎN CURÂND – Animație

Desenează un triunghi cu unghiurile de 40° și 50° și latura cuprinsă între ele de 5cm.

Vom începe din nou prin a construi prima latură a triunghiului care are lungimea de 5cm.

Si vom folosi din nou raportorul pentru a măsura un unghi de 40° în jurul unuia din capetele și vom desena a doua latură a triunghiului. Cu toate acestea, încă nu știm unde e capătul acestei laturi.

În schimb, hai să alegem orice punct din jurul acestei drepte, să presupunem ca este cel de-al treilea vârf al triunghiului și să măsurăm un unghi de 50°.

După cum se poate vedea, nu prea funcționează: a treia latură încă nu se unește cu vârful A. Pentru a rezolva asta, trebuie doar să o modificăm: desenăm o dreaptă paralelă care trece prin A. (Ai invățat deja cum se construiesc dreptele paralele într-un curs anterior.)

Cele două unghiuri de sus sunt unghiuri alterne, așa că ele sunt congruente și ambele au 50°. Putem șterge prima dreaptă ce este incorectă pentru a finaliza triunghiul UUL.

LLU

Construcția LLU este ușor diferită. Poate că ai observat că “LLU” nu se află pe lista criteriilor de congruență de mai sus, astfel că o comparație LLU în două triunghiuri nu este suficientă pentru a confirma că ele sunt congruente. Vei vedea în cele ce urmează de ce:

ÎN CURÂND – Animație

Desenează un triunghi cu laturile de 4cm și 5cm și unghiul cuprins între ele de 50°.

Ca întotdeauna, hai să începem prin a desena prima latură a triunghiului care are lungimea de 5cm.

Apoi, hai să măsurăm un unghi de 50° în jurul uneia dintre extremități și să desenăm a doua latură a triunghiului. Cu toate acestea, nu știm încă unde se va termina această latură.

A treia latură trebuie să aibă lungimea de 4cm. Putem desena cu ajutorul unui raportor un cerc de rază 4cm în jurul celeilalte extremități a laturii inițiale.

Ultimul vârf al triunghiului este punctul de intersecție a cercului cu a două latură. Cu toate acestea, în acest caz, sunt două intersecții!

Aceste două triunghiuri sigur nu sunt congruente. Asta înseamnă că există două triunghiuri diferite cu laturile de 4cm și 5cm, precum și un unghi care nu este cuprins între ele de 50°. LLU nu este suficient pentru a confirma că două triunghiuri sunt congruente.