Glosar

Selectați unul dintre cuvintele cheie din stânga ...

Triunghiuri și TrigonometrieTeorema Sinusurilor și Teorema Cosinusului

Timp de citit: ~10 min

Până acum, tot ce-am învățat despre trigonometrie se aplică doar în triunghiurile dreptunghice. Dar majoritatea triunghiurilor nu sunt dreptunghice și există două rezultate importante care se aplică tuturor triunghiurilor.

Teorema Sinusurilor
Într-un triunghi cu laturile a, b și c și unghiurile A, B și C,

sinaa=sinbb=sincc

Teorema Cosinusului
Într-un triunghi cu laturile a, b și c și unghiurile A, B și C,

c2=a2+b22abcosC
b2=c2+a22cacosB
a2=b2+c22bccosA

ÎN CURÂND – Demonstrație, exemple și aplicații

Marele Studiu Trigonometric

Vă mai aduceți aminte de misiunea de a găsi cel mai înalt munte de pe Pământ din introducere? Cu ajutorul trigonometriei putem, în sfârșit, să rezolvăm această problemă!

Topografii din India au măsurat unghiul din vârful muntelui din două poziții diferite, aflate la distanță de 5km unul față de altul. Rezultatele obținute au fost 23° și 29°.

Pentru că unghiul α este unghi suplementar, știm că măsura lui este °. Știind suma unghiurilor interne ale unui triunhi putem calcula măsura unghiului β care este de °.

Acum știm toate cele trei unghiuri ale triunghiului, precum și una dintre laturi. Aceste informații sunt suficiente pentru a afla ca să calculăm distanța d:

sin151°=sin
d=sin151°×5sin
=23.2 km

Mai avem un ultim pas: să aruncăm o privire la triunghiul dreptunghic cel mare. Știm deja lungimea ipotenuzei, dar, de fapt, avem nevoie de latura . O putem afla folosind definiția lui sin:

sin23°=
height=sin23°×23
=8.987 km

Această valoare este foarte apropiată de înălțimea reală a Muntelui Everest, cel mai înalt munte de pe Pământ: 8,848m.

Această explicație simplifică foarte mult munca extraordinară realizată de matematicienii și geografii care au participat la Marele Studiu Trigonometric. Ei au început de la nivelul mării de pe plajă, au măsurat lungimi de mii de kilometri, au construit turnuri de instalare a instrumentelor topografice de-a lungul întregii țări și au explicat chiar și curbura Pământului.